I семестр / Математический Анализ - ответы - 21-31 билеты / вопрос 30
.doc30 Формула Тейлора.
-
Многочлен Тейлора.
Отметим (см. главу 4), что если f(x) дифференцируема в точке x0, то ее приращение в этой точке можно представить в виде:
f(x) - f(x0) = f’(x0)(x – x0) + o(x – x0).
f(x)
=
+
o(x
– x0).
P1(x) обладает следующими свойствами: P1(x0) = f(x0), P’1(x0) = f’(x0). Рассмотрим теперь более общую задачу. Пусть f(x) n раз дифференцируема в точке x0, то есть имеет в точке n все производные до n-го порядка. Поставим задачу найти такой многочлен Pn(x) (степени n), что:
Pn(x0) = f(x0), P’n(x0) = f’(x0), P’’n(x0) = f’’(x0), … , P(n)n(x0) = f(n)(x0). (1)
Будем искать многочлен Pn(x) в виде:
Pn(x) = a0 + a1(x – x0) + a2(x – x0)2 + a3(x – x0)3 + … + ak(x – x0)k + … + an(x – x0)n. (2)
Покажем, что можно так выбрать коэффициенты a0, a1, … , an, что многочлен Pn(x) будет удовлетворять условию (1). Полагая в равенстве (2) x = x0 и учитывая первое из равенств (1), получим Pn(x0) = a0 = f(x0). a0 = f(x0). Продифференцируем равенство (2).
P’n(x) =a1 + 2a2(x – x0) + 3a3(x – x0)2 + … + nan(x – x0)n-1. (2’)
Положим в равенстве (2’) x = x0 и учтем второе условие из (1).
P’n(x0) =a1 = f(x0).
a1
=
.
Продифференцируем равенство (2’):
P’’n(x) = 2a2 + 23a3(x – x0) + … + n(n – 1)an(x – x0)n-1. (2’’)
Полжим в полученном равенстве (2’’) x = x0 и учтем третье условие из (1).
P’’n(x0) = 2a2 = f’’(x0).
a2
=
.
И так далее. После k –кратного дифференцирования равенства (2) получим:
P(k)n(x) = k!ak + 2ak+1(x – x0) + … + n(n - 1)…(n – k + 1)(x – x0)k. (2(k))
Полагая здесь x = x0 и учитывая k+1–е условие из (1), получим:
P(k)n(x0) = k!ak = f(k)(x0).
ak
=
(k
= 0, 1, … , n),
если принять обозначения f(0)
= f,
0! = 1. Итак, мы нашли такие коэффициенты
ak,
что многочлен
Pn(x)
= f(x0)
+
(x
– x0)
+ … +
(x
– x0)n
=
(x
– x0)k. (3)
удовлетворяет условиям (1). Многочлен (3) называется многочленом Тейлора для функции f(x). В следующем пункте мы покажем, что f(x) = Pn(x) + o((x – x0)n).
§2. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
Теорема 7.14. Пусть функция f(x) n раз дифференцируема в точке x0, тогда для функции f(x) имеет место равенство:
f(x) = Pn(x) + o((x – x0)n), где Pn(x) – многочлен Тейлора для функции f(x).
Лекция 22.
Пусть имеется f(x), имеющая производные до n-го порядка. Поставлена задача найти многочлен Pn(x):
Pn(x0) = f(x0), P’n(x0) = f’(x0), P’’n(x0) = f’’(x0), … , P(n)n(x0) = f(n)(x0). (1)
Этот многочлен был найден в виде:
Pn(x)
= f(x0)
+
(x
– x0)
+ … +
(x
– x0)n
=
(x
– x0)k. (3)
Теорема 7.14. Пусть функция f(x) n раз дифференцируема в точке x0, тогда для функции f(x) имеет место равенство:
f(x) = Pn(x) + o((x – x0)n). (4)
Доказательство.
Введем обозначение:
R(x)=f(x)-Pn(x)=f(x)–[f(x0)+
(x–x0)+
… +
(x–x0)n-1+
(x–x0)n].
Надо доказать, что R(x) = o((x – x0)n). Мы докажем это с помощью правила Лопиталя.
Требуется доказать,
что
=
0. (5)
Отметим прежде всего, что в силу условия теоремы сама функция f(x) и ее производные f’(x), … , f(n-1)(x) непрерывны в точке x0. Поэтому, используя условие (1), получаем:
R(x)
=
[
f(x)
- Pn(x)]
= f(x0)
- Pn(x0)]
= 0. (6)
R’(x)
=
[
f’(x)
– P’n(x)]
= f’(x0)
– P’n(x0)]
= 0. (6’)
и так далее…
R(n-1)(x)
=
[
f(n-1)(x)
– P(n-1)n(x)]
= f(n-1)(x0)
– P(n-1)n(x0)]
= 0. (6(n-1))
В силу (6) предел
(5) является неопределенностью типа
.
В силу (6’)
также является неопределенностью типа
.
и так далее…
В силу (6(n-1))
=
снова является неопределенностью типа
.
Для вычисления последнего предела
рассмотрим выражение для R(n-1)(x).
R(n-1)(x)
= f(n-1)(x)
- f(n-1)(x0)
- f(n)(x0)(x
– x0).
Так как f(n-1)(x)
дифференцируема в точке x0,
то ее приращение в точке x0
тожно представить в виде:
f(n-1)(x)
- f(n-1)(x0)
=
(x
– x0)
+ o(x
– x0)
= f(n)(x0)(x
– x0)
+ o(x
– x0).
Следовательно,
R(n-1)(x)
= o(x
– x0),
поэтому
=
=
0.
Таким образом, применяя к пределу (5) правило Лопиталя, получим:
=
=
… =
=
0,
что и требовалось доказать.
Теорема доказана.
Введем обозначение: Rn+1(x) = R(x) = f(x) - Pn(x). Тогда равенство (4) можно записать в виде:
f(x) = Pn(x) + Rn+1(x), (4’)
где Rn+1(x) = o((x – x0)n).
Функция Rn+1(x) называется остаточным членом, а формула (4) называется формулой Тейлора для функции f(x) с центром разложения в точке x0 и с остаточным членом в форме Пеано.