Программа Курса

- 1 -

Программа курсa "Численные методы"

I. Введение

Структура погрешности решения. Особенности машинной арифметики. Корректность задачи. Устойчивость задачи и устойчивость алгоритма.

II. Аппроксимация функций

Интерполяция

Лагранжева интерполяция. Интерполяционный многочлен Ньютона. Интерполяционный многочлен Лангранжа. Опасности полиномиальной интерполяции. Интерполяционный многочлен Эрмита. Интерполяция сплайнами. Кубические сплайны: различные виды дополнительных условий, вычисление коэффициентов сплайна методом прогонки. Экстремальные и локальные свойства кубических сплайнов.

Среднеквадратичное приближение

Существование и единственность наилучшего среднеквадратичного приближения. Некорректность задачи нахождения наилучшего среднеквадратичного приближения и ее регуляризация. Метод наименьших квадратов. Нелинейная аппроксимация.

Равномерное приближение

Сравнение наилучших среднеквадратичного и равномерного приближений.

III. Численное дифференцирование

Численное дифференцирование с помощью интерполяционного многочлена Ньютона. Точки повышенной точности. Метод Рунге-Ромберга. Регуляризация дифференцирования.

IV. Численное интегрирование

Квадратурные формулы средних (прямоугольников), трапеций, Симпсона.

Процесс Эйткена. Квадратурные формулы наивысшей точности. Интегралы с переменным верхним пределом. Несобственные интегралы. Кратные интегралы. Интегрирование методом Монте-Карло (два способа). Методы уменьшения дисперсии. Кратные интегралы по методу Монте-Карло. Сеточный метод или метод Монте-Карло ?

V. Численные методы линейной алгебры

Обусловленность матрицы, число обусловленности. Метод исключения Гаусса. Метод прогонки. Метод квадратного корня. Регуляризация задач линейной алгебры. Метод простых итераций. Метод Зейделя.

Частичная проблема собственных значений и собственных векторов: степенной метод, обратные итерации со сдвигом.

Общая проблема собственных значений. Обратные итерации.

Метод отражений. Прямой метод вращений. Итерационный метод вращений.

Метод элементарных преобразований.

Процесс ортогонализации Грама-Шмидта.

VI. Методы оптимизации

Метод золотого сечения. Метод парабол.

Минимум функции многих переменных: классификация рельефа.

Методы спуска: выбор шага и направления. Покоординатный спуск.

Градиентный спуск. Метод изменения масштабов. Метод Ньютона.

Метод сопряженных направлений. Случайный спуск. Минимум в ограниченной области: метод штрафных функций.

Минимум функционала. Метод наименьших квадратов. Метод пробных функций. Метод Ритца. Сеточный метод. Метод Галеркина.

Метод конечных элементов.

VII. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Численные методы для задачи Коши: метод Эйлера (ломаных), метод Рунге-Кутта, метод Адамса, неявные схемы. Сгущение сетки (метод Рунге-Ромберга).

Краевые задачи: метод стрельбы и разностный метод.

VIII. Моделирование случайных процессов (метод Монте-Карло). Методы генерации случайных величин

Непрерывные случайные величины:

метод обратных функций, метод отбора, метод суперпозиций.

Генерация дискретных случайных величин.

Специальные методы генерации случайных величин: экспоненциальное распределение и нормальное распределение.

Примеры генерации случайных величин в физике переноса излучения. Общая схема программы моделирования каскада частиц в веществе.

IX. Разностные схемы для дифференциальных уравнений в частных производных

Постановка задачи: задача Коши, краевая задача, смешанная краевая задача. Разностная схема. Сетка. Слой. Шаблон разностной схемы. Явные и неявные схемы.

Аппроксимация исходной задачи разностной схемой. Невязка. Порядок аппроксимации.

Методы составления схем. Метод разностной аппроксимации. Интегро-интерполяционный метод. Консервативные схемы. Метод неопределенных коэффициентов. Метод конечных элементов.

Устойчивость разностных схем. Безусловная и условная устойчивость. Признаки равномерной устойчивости двуслойных разностных схем.

Сходимость разностных схем. Порядок сходимости разностных схем.

автор -- доцент В.И.Галкин