cos-lab4-vorontsov / метода
.pdf
Министерство образования Республики Беларусь УЧЕБНОЕ ЗАВЕДЕНИЕ
БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ
Кафедра радиотехнических систем
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
к лабораторной работе
ДЛИННАЯ СВЕРТКА СИГНАЛОВ
по курсу ЦИФРОВАЯ ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ
для студентов специальностей «Радиотехнические системы» и «Радиотехника»
МИНСК 2010
3
Цель работы
1.Изучение алгоритмов вычисления сверток сигналов
2.Изучение алгоритмов вычисления длинных непрерывных сверток сигналов.
3.Получение навыков моделирования алгоритмов цифровой обработки сигналов.
1.Краткие теоретические сведения
1.1.Линейная и циклическая свертки сигналов
Операция |
линейной |
свертки |
двух |
последовательностей |
|
{x[k ]; k = 0,1,...M −1} и {h[k ]; k = 0,1,..., L − 1} определяется соотношением |
|
||||
|
y[m] = |
L+ M −2 |
m = 0,1,..., L + M − 2 |
|
|
|
∑ x[i]h[m − i], |
(1) |
|||
i=0
Вматричном виде линейная свертка записывается следующим образом
(для L=M=N): |
|
||||
|
y[0] |
|
|
h[0] |
|
|
y[1] |
|
|
h[1] |
|
|
|
|
|||
|
|
||||
|
y[2] |
|
|
h[2] |
|
|
y[3] |
|
|
... |
|
|
|
|
|||
|
|
||||
... = h[N -1]
|
y[N -1] |
|
|
0 |
|
|
|
||
|
y[N ] |
|
... |
|
|
... |
|
|
0 |
|
|
|
||
|
|
|
|
0 |
y[2N - 2] |
|
|||
0 |
0 |
... |
h[0] |
0 |
... |
h[1] |
h[0] |
... |
... |
... |
... |
h[N - 2] h[N - 3] |
... |
|
h[N -1] h[N - 2] |
... |
|
... |
... |
... |
0 |
0 |
h[N -1] |
0 |
0 |
0 |
Например, пусть N=4, тогда
0 |
|
|
x[0] |
|
0 |
|
|
x[1] |
|
|
|
|||
|
|
|||
0 |
|
|
x[2] |
|
... |
|
|
x[3] |
|
|
|
|||
|
|
|||
h[0] |
× |
x[4] |
||
|
|
|
|
|
h[1] |
|
... |
||
... |
|
x[N - |
||
h[N - |
|
|
|
|
2] |
x[N - |
|||
h[N - |
|
|
|
|
1] |
x[N - |
|||
3] 2]
1]
x = [x[0], x[1], x[2], x[3]]T , h = [h[0], h[1], h[2], h[3]]T .
4
h[0] |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h[1] |
h[0] |
0 |
0 |
|
x[0] |
|
||
h[2] |
h[1] |
h[0] |
0 |
|
|
|
|
|
x *h = h[3] |
h[2] |
h[1] |
h[0] |
× x[1] |
|
= |
||
|
0 |
h[3] |
h[2] |
|
|
x[2] |
|
|
|
h[1] |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
x[3] |
|
|
|
0 |
0 |
h[3] |
h[2] |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
h[3] |
|
|
|
||||
|
|
h[0]x[0] |
|
|
|
h[1]x[0] + h[0]x[1] |
|
|
|
|
|
|
h[2]x[0] + h[1]x[1] + h[0]x[2] |
||
|
|
|
|
= |
|
|
|
h[3]x[0] + h[2]x[1] + h[1]x[2] + h[0]x[3] |
|||
|
|
h[3]x[1] + h[2]x[2] + h[1]x[3] |
|
|
|
h[3]x[2] + h[2]x[3] |
|
|
|
|
|
|
|
h[3]x[3] |
|
|
|
|
|
Физической моделью линейной свертки является цифровой фильтр с конечной импульсной характеристикой.
Соотношение (1) имеет большое значение, поскольку позволяет осуществлять фильтрацию, линейную обработку сигналов и моделировать линейные системы. Применительно к этим задачам x[k ] и y[m] рассматриваются как входной и выходной сигналы системы (апериодическиие последовательности), а h[k ] - как ее импульсная характеристика. Пример такой свертки дает нерекурсивный или трансверсальный фильтр.
Циклическая свертка периодических последовательностей длины N определяется выражением
|
N −1 |
|
y[m] = |
∑ x[i]h[m − i]mod N , |
m = 0,1,...N −1 |
|
i=0 |
|
(2)
При этом справедливы следующие соотношения: x[-n]=x[N-n] и h[-n]=h[N- n].
В матричном виде циклическая свертка записывается следующим образом:
|
y[0] |
|
|
h[0] |
h[1] ... |
|
|
y[1] |
|
|
h[1] |
h[2] ... |
|
|
|
|
||||
|
|
|
||||
|
y[2] |
|
= |
h[2] |
h[3] ... |
|
|
... |
|
|
... |
... ... |
|
|
|
|
||||
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
h[0] ... |
|
y[N - |
1] |
h[N -1] |
||||
h[N -1] |
|
x[0] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h[0] |
|
x[N - |
1] |
|
|
h[1] |
|
× x[N - 2] |
|||
... |
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|||
h[N - |
|
|
x[1] |
|
|
2] |
|
|
|
||
5
Например для x = [x[0], x[1], x[2], x[3]]T , h = [h[0], h[1], h[2], h[3]]T
y[0] |
h[0] |
h[1] |
h[2] |
|
|
|
|
|
|
y[1] |
|
= h[1] |
h[2] |
h[3] |
y[2] |
h[2] |
h[3] |
h[0] |
|
|
|
|
h[0] |
h[1] |
y[3] |
h[3] |
|||
h[3] x[0]
h[0] × x[3] . h[1] x[2]
h[2] x[1]
Вычисление линейной свертки через циклическую. Для вычисления линейной свертки двух последовательностей длины N1 и N2 можно воспользоваться алгоритмом вычисления циклической свертки, но при этом исходные данные последовательности следует дополнить нулевыми отсчетами так, чтобы их длина стала равной (N1 + N2 - 1), и рассматривать их как периодические. Например: пусть свертываемые последовательности
имеют вид x = [x[0], x[1], x[2], x[3]]T и |
h = [h[0], h[1], h[2], h[3]]T , L=M=N=4, |
||||||||||||
дополним их нулями до длины L+M-1=7 и вычислим циклическую свертку |
|||||||||||||
h[0] |
h[1] |
h[2] |
h[3] |
0 |
0 |
0 |
|
|
x[0] |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h[1] |
h[2] |
h[3] |
0 |
0 |
0 |
h[0] |
|
|
0 |
|
|
||
h[2] |
h[3] |
0 |
0 |
0 |
h[0] |
h[1] |
|
|
0 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
× |
|
|
|
= |
h[3] |
0 |
0 |
0 |
h[0] |
h[1] |
h[2] |
|
0 |
|
||||
|
0 |
0 |
0 |
h[0] |
h[1] |
h[2] |
|
|
|
|
|
|
|
|
h[3] |
|
x[3] |
|
|||||||||
|
0 |
0 |
h[0] |
h[1] |
h[2] |
h[3] |
0 |
|
|
x[2] |
|
||
|
0 |
h[0] |
h[1] |
h[2] |
h[3] |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x[1] |
|
|
||||||||
|
|
|
|
h[0]x[0] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h[1]x[0] + h[0]x[1] |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
h[2]x[0] + h[1]x[1] + h[0]x[2] |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h[3]x[0] + h[2]x[1] + h[1]x[2] + h[0]x[3] |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
h[3]x[1] + h[2]x[2] + h[1]x[3] |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
h[3]x[2] + h[2]x[3] |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
h[3]x[3] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Согласно теореме о свертке, циклическая свертка может быть вычислена через дискретные преобразования Фурье:
y[m] = |
1 |
N −1 |
−im , m = 0,1,..., N −1 |
||
∑ |
[ X (i)H (i)]W |
||||
|
|||||
|
N i=0 |
|
|
||
6
|
2π |
|
(3) |
|
где W = exp(− j |
) , |
X (i), H (i) - Фурье-образы соответственно |
||
|
||||
|
N |
|
||
последовательностей x[k ] |
и h[k ] . |
|||
На рис.1 показан пример выполнения циклической свертки с явлением затягивания двух периодически повторяющихся последовательностей. На рис .2 показана апериодическая свертка двух прямоугольных импульсов.
Различие линейной и циклической свертки состоит в следующем. Затягивание, характерное для процесса линейной свертки, приводит к «перекрытию» в случае периодической свертки. Поэтому, когда требуется
вычислить свертку апериодических функций, необходимо принять меры к тому, чтобы избежать перекрытия. В рассмотренном примере этого можно достигнуть, увеличивая период функций (рис.3) и используя дискретное преобразование Фурье (ДПФ) с большим N.
При использовании свертки для выполнения фильтрации часто сталкиваются еще с одной трудностью. Фильтруемые последовательности обычно много длиннее относительно короткой импульсной характеристики, в результате чего для вычислений требуется чрезвычайно большая память или процесс обработки получает большое запаздывание. В этом случае можно производить свертку на основе ДПФ путем соответствующего секционирования длинных последовательностей.
1.2.Алгоритм вычисления свертки длинных последовательностей по методу «перекрытия с накоплением»
Пусть дана L- точечная импульсная h[m] (рис.4,а). Она свертывается с длинной последовательностью данных x[k] (рис.4,б). Чтобы получить свертку, выделим N отсчетов данных из x(k), образуя «кадр», который может быть использован в качестве входного массива N- точечного ДПФ (рис. 4, в). Наложим на N ограничение N>L. Поскольку используется ДПФ, кадр необходимо рассматривать как один период периодической функции x1[t] (рис. 4,г).
С помощью ДПФ вычислим преобразование N- точечной последовательности, образованной дополнением (N-L) нулями L- точечной импульсной характеристики. Этим достигается периодическое продолжение h[k], т.е. получение функции h1[k] (рис. 4, д).
Последовательность h1[k] свертывается с x1[t] умножением в частотной области:
|
|
Y1(n) = X1(n)H1(n), |
|
(4) |
||
где |
|
|
N −1 |
|
|
|
|
|
(n) = |
|
= 0,1,..., N −1 |
|
|
X |
1 |
∑ x [k ]W nk |
, n |
(5) |
||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
k =0 |
|
|
|
и
7
|
|
|
(n) = |
N −1 |
|
|
|
|
n = 0,1,..., N − 1. |
|
||||
|
H |
∑ h [k ]W nk |
, |
|
(6) |
|||||||||
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
k |
=0 |
|
|
|
|
|
|
||
Применив обратное ДПФ, получим |
|
|
|
|
|
|
||||||||
y [m] = |
1 |
N −1 |
|
|
|
|
(n)]W −nk |
|
m = 0,1,..., N −1. |
|
||||
∑[ X |
1 |
(n)H |
, |
(7) |
||||||||||
|
||||||||||||||
1 |
|
N n=0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Если в выражение (7) подставить два выражения (5) и (6) и применить
свойство ортогональности, то можно получить
m |
N −1 |
|
y1[m] = ∑ h1[i] x1[m − i] + |
∑ h1[i] x1[N + m − i] . |
(8) |
i =o |
i=m+1 |
|
Учитывая, что N положено больше, чем L, рассмотрим случай, когда m=L-
1:
y1[L −1] = |
L−1 |
|
N −1 |
|
|
|
∑ h1[i]x1[L −1 − i] + |
∑ h1[i]x1[N |
+ L −1 |
+ i] . |
(9) |
||
|
i =0 |
|
i= L |
|
|
|
Здесь |
|
|
|
|
|
|
h1[L] = h1[L + 1] = ... = h1[N −1] = 0 , |
|
|
|
|||
так что вторая сумма исчезает, и |
L−1 |
|
|
|
|
|
|
y1[L −1] = |
|
|
|
|
|
|
∑ h1[i]x1[L −1 − i] . |
|
|
(10) |
||
|
|
i =0 |
|
|
|
|
Это точное выражение, определяющее (L-1)- й выходной отсчет фильтра с L отводами. Члены y1[L], y1[L+1],…,y 1[N-1] по той же причине корректны.
Рассмотрим теперь первые (L-1) выходных отсчетов. Все они содержат ложные члены, вызванные наложением и определяемые второй суммой в выражении (9). Из– за этого они некорректны и должны быть отброшены
(рис. 4, е, ж).
Следующий этап включает выделение второго N- точечного кадра, выбираемого так, что его первые (L-1) значений идентичны последним (L-1) отсчетам предыдущего кадра (рис. 4, з). Это необходимо в силу того, что в начале следующей N- точечной свертки снова будет (L-1) ложный отсчет, которые должны быть отброшены.
Корректная часть первой свертки возвращается в память (рис. 4, и). Поскольку, по крайней мере N отсчетов, взятых из x(k), больше не будут использоваться, отфильтрованные данные, полученные в результате первой свертки, могут быть помещены в те же ячейки памяти, которые содержали первый обработанный кадр. Таким образом, весь процесс фильтрации может быть выполнен с «замещением», и в этом случае потребности в памяти определяются необходимостью хранения лишь первоначальных данных.
Стыковка корректных частей от первой и второй сверток, и получение полной свертки, показаны на рис. 4, к.
8
Если N много больше длительности импульсной характеристики L (которая может считаться фиксированной и определяется требуемым количеством отводов в фильтре), то свертку можно вычислять сразу большими массивами. С другой стороны, если N мало и ненамного превосходит L, потребуются короткие быстрые свертки и процесс фильтрации может значительно удлиниться. Поэтому существуют оптимальные значения N для заданных L.
2.2 Алгоритм вычисления свертки длинных последовательностей по методу «перекрытия с накоплением»
Пусть дана L- точечная импульсная h[m] (рис.4,а). Она свертывается с длинной последовательностью данных x[k] (рис.4,б). Чтобы получить свертку, выделим N отсчетов данных из x(k), образуя «кадр», который может быть использован в качестве входного массива N- точечного ДПФ (рис. 4, в). Наложим на N ограничение N>L. Поскольку используется ДПФ, кадр необходимо рассматривать как один период периодической функции (рис. 4,г).
x1 (k)
x2 (k ) |
k |
|
k x(k) = x1 (k) * x2 (k)
k
Перекрытие вызванное затягиванием
x1 (k)
x2 (k )
x(k) = x1 (k) * x2 (k)
Период 
Рис. 1 |
Рис.2 |
x1 (k )
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 (k ) |
|
|
|
k |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(k) = x1 (k) * x2 (k) |
|
|
|
k |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
9
h(m)
0 |
L −1 |
m |
|
x(k ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
N −1 |
x1 (k )
N точек
N точек
N точек
h1 (k)
y1 (m)
k
k
k
L −1 ложных значений |
m |
||
|
|
N − L + 1 корректных значений |
|
|
|
|
|
0 |
L |
N −1 |
0 |
N −1 |
|
Перекрытие из L-1 точек, позволяющее в дальнейшем отбросить L-1 значений свертки
0 |
N −1 |
|
|
L-1 значений отбрасываемых |
|
y(m) |
при стыковке первой (ж) и |
|
второй (и) сверток |
||
|
||
0 |
m |
Рис. 4
10
С помощью ДПФ вычислим преобразование N- точечной последовательности, образованной дополнением (N-L) нулями L- точечной импульсной характеристики. Этим достигается периодическое продолжение h[k], т.е. получение функции h1[k] (рис. 4, д.).
Последовательность h1[k] свертывается с x1[t] умножением в частотной области:
|
|
|
Y1 (n) = X1 (n)H1 (n) , |
(4) |
|||
где |
|
|
N −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
X1 (n) = ∑ x1[k]W nk , |
|
n = 0,1,..., N −1 |
(5) |
|||
|
|
|
k =0 |
|
|
|
|
и |
|
|
N −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
H1 (n) = ∑ h1[k]W nk , |
|
n = 0,1,..., N −1 |
(6) |
|||
|
|
|
k =0 |
|
|
|
|
Применив обратное преобразование ДПФ, получим |
|
||||||
|
|
1 |
N −1 |
|
|
|
|
y1 |
(m) = |
∑[ X1 (n)H1 (n)]W |
−nk , |
m = 0,1,..., N − 1 |
(7) |
||
|
|||||||
|
|
N n=0 |
|
|
|
||
Если в выражение (7) подставить два выражения (5) и (6) и применить
свойство ортогональности, то можно получить
m |
N −1 |
|
y1 (m) = ∑ h1 (i)x1[m − i] + |
∑ h1[i]x1[N + m − i] |
(8) |
i=0 |
i=m+1 |
|
Учитывая, что N положено больше, чем L, рассмотрим случай, когда m=L-l : |
||
L−1 |
N −1 |
|
y1 (L −1) = ∑h1 (i)x1[L −1− i] + ∑h1[i]x1[N + L −1+ i] . |
(9) |
|
i=0 |
i=L |
|
Здесь |
|
|
h1[L] = h1[L +1] = ... = h1[N −1] = 0 , |
|
|
так что вторая сумма исчезает, и |
|
|
L−1 |
|
|
y1 (L −1) = ∑h1 (i)x1[L −1− i] . |
(10) |
|
i=0 |
|
|
Это точное выражение, определяющее (L-1)- и выходной отсчет |
||
фильтра с L отводами. Члены |
|
|
y1[L], y1[L +1],..., y1[N −1]по той же причине корректны. |
Рассмотрим теперь |
|
первые (L-1) выходных отсчетов. Все они содержат ложные члены, вызванные наложением и определяемые второй суммой в выражении (9). Из-за этого они некорректны и должны быть отброшены (рис. 4, е, ж).
Следующий этап включает выделение второго N- точечного кадра, выбираемого так, что его первые (L-1) значений идентичны последним (L-1) отсчетам предыдущего кадра (рис. 4, з). Это необходимо в силу того, что в начале следующей N- точечной свертки снова будет (L-1) ложный отсчет, которые должны быть отброшены.
11
Корректная часть первой свертки возвращается в память (рис. 4, и). Поскольку, по крайней мере, N отсчетов, взятых из x(k), больше не будут использоваться, отфильтрованные данные, полученные в результате первой свертки, могут быть помещены в те же ячейки памяти, которые содержали первый обработанный кадр. Таким образом, весь процесс фильтрации может быть выполнен с «замещением», и в этом случае потребности в памяти определяются необходимостью хранения лишь первоначальных данных.
Стыковка корректных частей от первой и второй сверток, и получение полной свертки, показаны на рис. 4, к.
Если N много больше длительности импульсной характеристики L (которая может считаться фиксированной и определяется требуемым количеством отводов в фильтре), то свертку можно вычислять сразу большими массивами. С другой стороны, если N мало и ненамного превосходит L, потребуются короткие быстрые свертки и процесс фильтрации может значительно удлиниться. Поэтому существуют оптимальные значения N для заданных L.
→ |
= [1,0,1,-1,4,-4,1,0]T , импульсная |
Пример. Задан вектор данных x |
→
характеристика фильтра определяется вектором h = [1,-1]T , требуется вычислить линейную свертку с помощью алгоритма перекрытия с накоплением.
Модель фильтра имеет вид
0,1,−4,4,−1,1,0,1
|
|
|
Z −1 |
|
|
Z −1 |
|
||||||
|
|
|
|
||||||||||
h[0] = 1 |
|
|
|
|
|
|
h[1] = 1 |
||||||
× |
|
|
× |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
y[n] = x[n] − x[n −1] = 1,−1,1,−2,5,−8,5,−1,0 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I.Подготовительные операции.
Параметры алгоритма: L=2, N= 4, перекрытие = L-1 =1. Разбивка на
→ |
→ |
= [-1,4,-4,1]T , |
→ |
= [1,0,0,0]T . Последний кадр дополняется |
|
кадры x |
= [1,0,1,-1]T , x 2 |
x |
3 |
||
1 |
|
|
|
|
|
нулями до нужного размера. Вычисление спектра Фурье импульсной
→
характеристики H = [W4nk ]× h = [0, (1+ j),2, (1- j)]T .
12