Вопрос 2.

Кручение валов. Модуль кручения. Принцип действия крутильных весов. Опыты с крутильными весами.

Кручение валов.Деформации сдвига возникают при скручивании валов машин и механизмов. когда посредством вала передаётся вращательное усилие от обной части механизма к другой. На рисунке изображены деформируемый вал и деформация сдвига элементарного объема. Уголзависит от удаления этого объема от оси вала. Касательные напряжения_, ответственные за эти деформации, создают в сечении момент упругих сил, равный

М_упр=rf_=

Здесь учтено, что площадь элементарного кольца радиуса r и шириной dr равна dS=2rdr, а_(r)=(r)G.

Из условия равновесия части вала, находящейся, например, выше от рассматриваемого сечения, следует, что М_упр=М, и М_упрне зависит от выбора сечения вала.

Зависимость (r) должна быть линейной функцией от расстояния r , т.е.(r)=kr, где к можно определить из предыдущих уравнений.

М_упр=

Сдвиговые деформации

(1)

Они пропорциональны моменту внешних сил и обратно пропорциональны четвертой степени радиуса R. Из последнего соотношения легко подсчитать угол кручения , на который повернется верхнее основание стержня относительно нижнего. Из очевидного неравенства

(R)=Rс учетом (1) находим

=где- модуль кручения, зависящий от размеров вала и модуля сдвига материала, из которого вал изготовлен. Для создания жестких валов необходимо увеличивать диаметр и сокращать длину. Можно взять трубу.

В ряде случаев, наоборот, используют валы, изготовленные в виде тонких нитей, например, нити подвеса крутильных весов, использовавшихся Ш. Кулоном в опытах по исследованию электростатического взаимодействия и П. Н. Лебедевым – в опытах по измерению давления света. В этих опытах тонкие кварцевые нити закручивались на заметные углы при действии ничтожно малых моментов сил, что обеспечивало высокую чувствительность крутильных весов.

Билет 6.

Вопрос 1.

Движение тел с переменной массой. Уравнение Мещерского. Формула Циолковского.

Движение тел с переменной массой.

Уравнение движения тел с переменной не содержат ничего принципиально нового по сравнению с законами Ньютона, и являются их следствиями. Но они представляют большой интерес в связи с ракетной техникой.

Выведем уравнение движения материальной точки с переменной массой на примере движения ракеты. Пусть m(t)-масса пакеты в произвольный момент времениt, аv(t)-ее скорость в тот же момент. Импульс ракеты в этот момент будетmv. Спустяdtмасса и скорость ракеты получат приращениеdmиdv(dm-отрицательна). Импульс ракеты станет (m+dm)(v+dv). Сюда надо добавить импульс движения газов, образовавшихся заdt. Он равенdm_газv_газ–масса и скорость газа, образовавшихся заdt. Вычитая из суммарного импульса системы в моментt+dtимпульс системы в моментt, найдем приращение этой величины за dt. Это приращение равноFdt, гдеF– геометрическая сумма всех внешних сил, действующих на ракету.

(m+dm)(v+dv)+dm­_газv_газ-mv=Fdt

Время dtустремим к нулю. Поэтому, раскрывая скобки, отбрасываемdmdv. Далееdm+dm_газ=0 иv_отн=v_газ-vесть скорость истечения газов относительно ракеты. Тогда

mdv=v_отнdm+Fdt, деля наdt

m(dv/dt) =v_отн(dm/dt) +F(1)

Член v_отн(dm/dt) – реактивная сила . Уравнение (1)-уравнение Мещерского или уравнение движения точки с переменной массой.

Пусть теперь у нас F=0, тогдаmdv=v_отнdm.

Допустим, что ракета движется прямолинейно в направлении, противоположном скорости v_отн. Тогда проекцияv_отнна направление движения будет –v_отн. Тогда

dv/dm= -(v_отн/m)

Пусть скорость газовой струи v_отнпостоянна, тогда

v= -v_отн (dm/m) = -v_отн ln(m) +C

Значение С определяется начальными условиями. Если, в начальный момент времени скорость ракеты =0, а масса = m_0, тогда 0 = -v_отн­ ln(m₀) +C, откуда С =v_отнln(m₀). Следовательно :v=v_отнln(m/m₀) или

m₀/m=e^{v / v отн} . (2)

Уравнение (2) – формула Циолковского. Она справедлива для нерелятивистских движений (vиv_отн­ <<c)

Релятивистская формула имеет вид :

, где=v/c.