ТЕМА 2. ПРОГРАММИРОВАНИЕ ПЕРЕБОРА ВАРИАНТОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ДЕРЕВЬЕВ РЕШЕНИЙ

Цель лабораторной работы: изучить способы программирования алгоритмов с использованием деревьев решений.

2.1. Задача оптимального выбора и дерево решений

Много важных прикладных задач (в частности задач искусственного интеллекта) можно свести к следующей.

Имеется набор из n элементов a1...an. Каждый элемент ai характеризуется определенными свойствами, например, вес wi и цена ci (это могут быть размер и время, объем инвестиций и ожидаемый доход и т. д.). Требуется найти оптимальную выборку ai1 ...aik из этого набора, т. е. такую, для которой, например,

k

при заданном ограничении на суммарный вес ∑wi ≤Wmax достигается макси-

j=1 j

k

мальная стоимость ∑ci .

j=1 j

С такой проблемой сталкивается, например, путешественник, упаковывающий чемодан, суммарный вес которого ограничен Wmax кг, а ценность вещей должна быть побольше, или инвестор, которому надо выгодно вложить Wmax млн р. в какие-то из n возможных проектов, каждый из которых имеет свою стоимость и ожидаемый доход.

Решение данной задачи состоит в переборе и проверке всех возможных выборок {(i1,...,ik ), 0 ≤ k ≤ n} из n значений {1, 2, ..., n}. Например, для n = 3 таких

выборок 2n =8: {1, 2, 3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1}, {2}, {3}, { }.

2.2. Рекурсивная процедура метода ветвей и границ

Стратегия отсечения заведомо неприемлемых и неоптимальных решений позволяет резко сократить количество просматриваемых вариантов.

Ниже приведен листинг программы, реализующей решение сформулированной задачи методом ветвей и границ. Здесь введен массив элементов a, имеющих тип записи с полями w и c. При генерации текущей и оптимальной выборок используются множества S и Sopt из индексов, входящих в выборку элементов. В процедуре VbrVG(i,tw,oct) введены дополнительно два формальных параметра: tw – суммарный вес текущей выборки и oct – общая ее стоимость, т.е. стоимость, которую еще можно достичь, продолжая текущую

9