ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2

РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: “Изучение разностных уравнений. Программирование разностных уравнений в пакете Matlab”.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Системы, у которых входная и выходная последовательности x(n) и y(n) связаны линейным разностным уравнением с постоянными коэффициентами, образуют подмножество класса линейных систем с постоянными параметрами.

В самом общем случае линейное разностное уравнение M-го порядка с постоянными коэффициентами, относящееся к физически реализуемой системе, имеет вид

где коэффициенты {bi} и {ai} описывают конкретную систему, причем aM ≠ 0. Важное значение разностных уравнений состоит в том, что они непосред-

ственно определяют способ построения цифровой системы. Так, разностное уравнение можно реализовать с помощью схемы, изображенной на рисунке 9. Блок Z-1 осуществляет задержку на один отсчет.

x(n−M)

-aM

Рисунок 9 – Схема реализации разностного уравнения первого порядка

Для описания линейных систем с постоянными параметрами в частотной области используется специальный класс входных последовательностей, имеющих вид

x(n) = e jωn , −∞ < n < ∞.

Если такая последовательность поступает на вход линейной системы с постоянными параметрами с импульсной характеристикой h(n), то на выходе появится последовательность

Таким образом, для выбранного класса входных последовательностей отклик совпадает с точностью до комплексного множителя H(ejω), который выражается через импульсную характеристику системы следующим образом:

∞

H (e jω ) = ∑h(n) e− jωn .

n=−∞

Поскольку последовательность вида ejω функционально эквивалентна дискретной синусоиде с частотой ω, то множитель H(ejω) называют частотной характеристикой системы, так как он представляет собой коэффициент передачи для каждого значения ω.

Частотная характеристика является периодической функцией ω, причем ее период равен 2π. Эта периодичность связана со спецификой дискретного колебания: входная последовательность с частотой (ω + 2mπ) (m = ±1, ±2, …) не отличается от входной последовательности с частотой ω, т.е.

Поскольку H(ejω) – периодическая функция, то для полного описания достаточно задать ее на любом интервале длиной 2π. Обычно для этой цели используют интервал 0 ≤ ω ≤ 2π.

Другим важным свойством частотной характеристики является то, что для действительных h(n) модуль H(ejω) симметричен, а фаза – антисимметрична на интервале 0 ≤ ω ≤ 2π. Аналогично действительная часть H(ejω) симметрична, а мнимая – антисимметрична на том же интервале. Поэтому при действительных импульсных характеристиках интервал частот, на котором задают частотную характеристику, сокращают обычно до 0 ≤ ω ≤ π.

В Matlab разностные уравнения представляются двумя векторами: один содержит коэффициенты bl для отсчетов входного сигнала, а другой – коэффициенты al для отсчетов выходного сигнала.

Функция y=filter(b,a,x) реализует цифровой фильтр, определенный, согласно (1), для входного вектора х. Коэффициент а0 полагается равным 1. Если х является единичным импульсом, то y называют импульсной характеристикой h[n].

Обратите внимание на то, что функция y=filter(b,a,x) усекает импульсную характеристику до длины входного вектора.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Сформируйте векторы b и а коэффициентов при x[n] и y[n] согласно следующей таблицы:

Создайте вектор с одним единичным импульсом imp длиной 128. Вычислите и постройте с помощью функции stem график первых 128 отсчетов импульсной характеристики.

2. Создайте свою функцию, аналогичную filter. Постройте h[n] в диапазоне n=-10..100 для разностного уравнения, заданного следующей таблицей:

Сравните результат с работой функции filter.

3.Для разностного уравнения из задания 2 постройте характеристику при входном сигнале x[n]=3u[n] (u[n]–единичная ступенька). Выбрав достаточную длину вектора, определите, к какому значению сходится характеристика. Это значение называют устоявшимся режимом фильтра, а переменную часть характеристики – переходной характеристикой.

4.Разделение на переходный и устоявшийся режимы можно проводить и для других видов входных сигналов, например, вида e jωo n u[n]. В этом случае

получим комплексную характеристику Ge jωo n u[n], где G – комплексная амплитуда, зависящая от ωо, которую обозначают G(ωо).

Для системы из задания 2 постройте отклик при входном сигнале x[n]=ejnπ/3u[n]. Определите устоявшееся значение комплексной амплитуды

G(π/3).

5. Для установившегося режима при x[n] = ejωn u[n] в разностном уравнении можно заменить y[n] на G(ω)ejωn:

a0G(ω)e jωn + a1G(ω)e jω(n−1) + a2G(ω)e jω(n−2) = b0e jωn +b1e jω(n−1) .

Из данного уравнения можно получить зависимость комплексной ампли-

Вместо обозначения G(ω) при работе с ДПФ и z-преобразованием используют H(ejω).

Вычислите частотную характеристику для задания 2 и постройте ее амплитуду и фазу (АЧХ и ФЧХ).

Для некоторой частоты проверьте результат с использованием filter.

6. Команда [H,W]=freqz(b,a,N,’whole’) вычисляет частотную характеристику фильтра в N точках, равномерно распределенных по единичной окружности. Если не использовать ’whole’, получится характеристика только для верхней половины единичной окружности (0..π). Выходные векторы H и W содержат N значений частотной характеристики и значения ω.

Постройте амплитудную и фазовую характеристики системы из задания 2 для 512 точек на всей единичной окружности. (Используйте plot(W,abs(H)) и plot(W,angle(H))). Почему часто используют значения частотной характеристики только в верхней половине единичной окружности?

7. В зависимости от поведения амплитудно-частотной характеристики различают фильтры нижних частот, верхних частот, полосовые и режекторные. Для следующих разностных уравнений определите тип фильтра: y[n]+0.13y[n-1]+0.52y[n-2]+0.3y[n-3]=0.16x[n]-0.48x[n-1]+0.48x[n-2]-0.16x[n-3]; y[n]-0.268y[n-2]=0.634x[n]-0.634x[n-2];

y[n]+0.268y[n-2]=0.634x[n]+0.634x[n-2]; 10y[n]-5y[n-1]+y[n-2]=x[n]-5x[n-1]+10x[n-2].