Действительно, подсчитаем первую вариацию функционала I (y) по вышеприведенной формуле и сравним с известным результатом (2.3.3):

минимум в задачу вариационного исчисления, необходимо, чтобы выполнялись условия: δ I (y(x)) = 0, δ 2I (y(x)) ³ 0.

члены с первой и выше степенями ε . При достаточно малых ε знак квадратной

превращает в ноль первую вариациюδ I(y) :

23

8. ò( yx + yx2 sin2 x + e2x )dx → min .

1

ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА

Эйлер Леонард (Euler Leonhard) (1707 – 1783) –

выдающийся немецкий математик и механик. Родился в 1707 г. в Базеле. В 1720 – 1724 гг. в Базельском

университете слушал лекции по математике Иоганна Бернулли. Почти полжизни Л.Эйлер провёл в России, где энергично помогал создавать российскую науку. В 1726 г. был приглашён работать в Санкт-Петербург. В 1731 – 1741 гг. и начиная с 1766 г. был академиком Петербургской Академии Наук. В 1741 – 1766 гг. работал в Берлине, оставаясь почётным членом Петербургской Академии. Важнейший вклад Леонарда Эйлера в науку – монография «Введение в анализ бесконечно малых» (1748). В 1755 г. выходит

дополненное «Дифференциальное исчисление». В 1768 – 1770 гг. – три тома «Интегрального исчисления». В совокупности этот фундаментальный курс является родоначальником всех современных учебников. Леонард Эйлер заложил начало нескольким новым математическим дисциплинам – теории чисел, вариационному исчислению, теории комплексных функций, дифференциальной геометрии поверхностей, специальным функциям. Благодаря Леонарду Эйлеру в математику вошли общая теория рядов, полная теория непрерывных дробей, многочисленные приёмы интегрирования дифференциальных уравнений, число e, обозначение i для мнимой единицы.

25

Приведем скрипт в среде MATLAB решения задач данного класса.

2

Решаем следующую задачу: ò(xy+ y2 −2y2 y′x )dx→min; y(0)=0, y(2)=−1.

0

1.syms x y Dy D2y dy d2y; %объявляем переменные

2.F = x*y+y^2-2*y^2*Dy; % функционал (Dy – первая производная, вторая - D2y)

3.%используем развёрнутую формулу Эйлера

4.T = diff(F, y)-diff(diff(F, x), Dy)-diff(diff(F, y), Dy)*Dy-diff(F, Dy, 2)*D2y;

5.T = strcat(char(T), ' = 0'); disp(T); %выводим полученное уравнение

6.% видоизменяем переменные для последующей проверки уравнения

7.S = subs(subs(T, Dy, dy), D2y, d2y);

8.%проверка уравнения на наличие производных, если они отсутствуют, решаем %алгебраическое уравнение, если присутствуют, решаем дифференциальное уравнение

9.if strcmp(char(T), char(S)) = = 1

10. res = solve(T,'y'); %решение алгебраического уравнения (выражаем y через x)

11.else

12.res = dsolve(T,'x'); %решение дифференциального уравнения (выражаем y через x)

13.end; disp(res); %выводим результат

§5. Моделирование обыкновенного дифференциального уравнения

В общем случае вариационный принцип Гамильтона утверждает: для

некоторого класса задач с некоторыми определенными условиями из всех возможных состояний реализуется такое состояние, которое придает минимальное значение функционалу, характерному для данного процесса. Функционал системы, как правило, формируется через полную энергию

считается заранее известной. Тогда закон x(t) движения точки, как известно,