Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1304 вуза, 5161 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:
Дифференциальные уравнения.pdf
Скачиваний:
255
Добавлен:
11.05.2015
Размер:
2.38 Mб
Скачать
☆
►Содержание►

Глава 2. Моделирование обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных второго порядка

КЛАССИФИКАЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА. ПОСТАНОВКА ВАРИАЦИОННОЙ ЗАДАЧИ. ВАРИАЦИЯ КРИВОЙ, ВАРИАЦИЯ ФУНКЦИОНАЛА. УРАВНЕНИЕ ЭЙЛЕРА. ПРИМЕР МОДЕЛИРОВАНИЯ ОБЫКНОВЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ. ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ. ПРИНЦИП МАКСИМУМА ПОНТРЯГИНА. ФУНКЦИОНАЛЫ ОТ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ, ПОСТАНОВКА ВАРИАЦИОННОЙ ЗАДАЧИ. ВАРИАЦИЯ ФУНКЦИОНАЛА. УРАВНЕНИЕ ОТСТРОГРАДСКОГО. ПРИМЕР МОДЕЛИРОВАНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА

§1. Классификация линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка

Дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка принято классифицировать на линейные, квазилинейные и нелинейные. В

линейные уравнения искомая функция и ее частные производные входят линейным образом.

Линейным дифференциальным уравнением второго порядка в частных производных с двумя независимыми переменными в прямоугольной декартовой системе координат будем называть уравнение следующего вида:

 

∂

( A

∂u

) + B

∂2 u

+

∂

(C

∂u

) + D ∂u

+ E ∂u

+ Fu = G( x,y ) ,

 

∂ x

 

 

∂ y

 

 

 

∂ x

∂x∂y

 

∂ y

∂ x

∂ y

 

Здесь A = A(x, y), B = B(x, y), C = C(x, y),

D = D(x, y),

E = E(x, y), F

G =G(x, y)

–

некоторые известные функции с заданными свойствами,

Часто в приложениях уравнение записывают и в следующей форме:

(x,y) Ω .

=F(x, y),

R2 .

A ∂2 u

+ B

∂2 u

+ C ∂2 u

+ D ∂u

+ E ∂u + Fu = G( x,y ) , (x,y) Ω

 

∂ x2

 

∂x∂y

∂ y2

∂ x

∂ y

 

либо

 

 

 

 

 

 

 

Auxx + Buxy +C u yy + Dux + E u y + F u = G(x, y) , (x,y) Ω .

(2.1.1)

Уравнения,

в которых

A, B,C, D, E, F являются константами, называются

линейными дифференциальными уравнениями второго порядка в частных производных с постоянными коэффициентами.

Все линейные уравнения с частными производными второго порядка (2.1.1) относятся к одному из трёх типов:

1. Параболические – уравнения описывают процессы теплопроводности, диффузионный перенос поля либо вещества. Определяются условием

B2 − 4AC = 0 .

2.Гиперболические – описывают волновое движение, колебательные системы. Определяются условием B2 − 4AC > 0 .

3.Эллиптические – описывают стационарные диффузионные процессы

(либо очень близкие к ним). Определяются условием B2 − 4AC < 0 .

Приведем три основных уравнения с постоянными коэффициентами, которые, собственно, и будут исследованы далее.

19

Уравнение теплопроводности – уравнение параболического типа:

∂u(x,t) = ∂2u(x,t) ; t [t ,t* ], x [a,b].

 

∂t

∂x2

0

 

 

Коэффициенты

уравнения

(2.1.2)

имеют

следующий

A=1, B=0, C =0, D=0, E =−1, F =0,

поэтому получаем B2 − 4AC = 0 .

Уравнение колебаний – уравнение гиперболического типа:

∂2u(x,t) = ∂2u(x,t) ;

t [t ,t* ],

x [a,b].

 

∂t2

∂x2

 

0

 

 

Коэффициенты

уравнения

(2.1.3)

имеют

следующий

A =1, B = 0, C = −1, D = E = F =G = 0 ,

поэтому получаем B2 − 4AC = 4 > 0.

Уравнение Лапласа в R2

– уравнение эллиптического типа:

∂2u(x, y) +

∂2u(x, y)

= 0;

x [a,b], y [c,d].

 

∂x2

∂y2

 

 

 

 

(2.1.2)

вид:

(2.1.3)

вид:

(2.1.4)

Коэффициенты уравнения (2.1.4) имеют следующий вид: A=1, B =0, C =1, D = E = F =G=0 , поэтому получаем B2 − 4AC = −4 < 0 .

Общим решением дифференциального уравнения в частных производных называется функция, которая, будучи подставленной в уравнение, обращает это уравнение в тождество по всем независимым переменным в рассматриваемой области. Процесс нахождения всех

решений дифференциального уравнения в частных производных называется интегрированием этого уравнения.

Общее решение дифференциального уравнения в частных производных зависит от произвольных функций, число которых равно порядку этого уравнения. Любое решение дифференциального уравнения в частных производных, входящих в состав общего решения, называется частным решением этого уравнения.

Для того чтобы найти интересующее нас решение дифференциального уравнения в частных производных, надо присоединить к уравнению некоторые дополнительные условия, которым оно удовлетворяет. Поскольку

дифференциальные уравнения в частных производных допускают особые решения, то эта задача может иметь не единственное решение.

§2. Постановка вариационной задачи

Вариационная задача – это бесконечномерная экстремальная задача, т.е. обобщение на бесконечномерный случай конечномерной задачи на экстремум.

Рассмотрим следующую простейшую вариационную задачу. Среди

функций

y = y(x),

y C

( 1 )(x ,x ) ,

принимающих значения y(x ) = 0 , y(x ) = 0,

 

 

 

0

1

 

0

 

 

1

найти такую функцию

y(x) ,

которая доставит

минимум

функционалу

следующего вида:

 

x1

 

 

′

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I (y)= ò F (x,y,yx )dx . Здесь F = F(x, y(x), y (x)) – некоторая

 

 

 

x0

 

′

 

 

 

 

заданная

функция

переменных

из класса

C

(2)

[x0 , x1 ] по

x , y(x) , y (x)

 

20

 

 

 

 

 

 

 

 

 

совокупности своих аргументов. Таким образом, простейшая задача

вариационного исчисления имеет вид

ì

 

x1

 

ï

 

= òF (x,y,yx )dx® min,

 

 

 

ïI (y)

(2.2.1)

í

 

x0

ï

 

 

 

 

ïy(x )=0, y(x )=0.

 

î

0

1

 

Если на допустимой кривой y(x) ( y(x0 ) = 0 , y(x1 ) = 0), удовлетворяющей

условию

 

~

 

~

³ I (y) , то говорят, что функционал

 

 

 

y(x) − y(x)

≤ ε , выполняется I (y)

I ( y (x)) (2.2.1) достигает сильного минимума.

Когда выполнены не только два вышеприведенных предположения, но и

требование

~

то говорят, что на кривой y = y(x) достигается

yx (x)- yx (x) £ε ,

слабый минимум.

Все необходимые условия слабого минимума будут и необходимыми условиями сильного минимума, но не наоборот.

§3. Вариация кривой. Вариация функционала

Предположим, что на минимум исследуется допустимая кривая y = y (x) (удовлетворяющая граничным условиям, x [x0 , x1] ). Другие допустимые

кривые можно представить в виде

 

 

 

~

 

ε R, h(x0 ) = h(x1 ) = 0 ,

(2.3.1)

y(x) = y(x) + ε h(x) ,

~

(x) .

(2.3.2)

yx′(x) = y′x (x) + ε hx

Потребуем, чтобы h(x) c(1) (x , x ) . Функцию δ (y(x)) = ε h(x)

назовём

 

0

1

 

вариацией допустимой кривой.

Вариация функционала – одно из центральных понятий при изучении бесконечномерных экстремальных задач, т.е. нелинейных функционалов. Оно играет ту же роль, что и дифференциал для нелинейных функций.

Замена приращения функции на дифференциал функции обозначает линеаризацию приращения функции при малом изменении аргумента.

Дифференциал нелинейной функции равен главной линейной части её приращения.

Вариация нелинейного функционала равна главной линейной части его приращения. Замена приращения функционала на его вариацию также означает процесс линеаризации.

 

 

 

x

Вычислим приращение функционала:

I ( y) ò1F(x, y, yx )dx на допустимых

 

 

 

x0

кривых y(x),yx (x) :

x1

x1

x1

 

~

~ ~

 

~ ~

 

DI (y)=I(y)

-I(y)= òF(x, y, yx )dx- òF(x, y,yx )dx= ò

(F(x, y, yx )-F(x,y, yx ))dx .

 

x0

x0

x0

 

21

С учётом представления (2.3.1) и (2.3.2) при зафиксированных функциях

h(x) , y(x)

приращение функционала I( y) является функцией числового

параметра ε

и может быть представлено в следующем виде:

 

x1

~ ~

 

DI ( y) = ò

 

(F ( x, y , y x ) - F ( x, y, y¢x )) dx =

 

x0

 

x1

=ò( F ( x, y + εh, y¢x +εhx ) - F ( x, y, y x )) dx =

x0

=éêDF(x, y, y¢x )=dF(x, y, y¢x )+ 1 d 2F(x, y,y¢x )+o(ε 2 ) ;

ë 2

 

 

 

dF ( x, y, y¢x ) = ε ( F ( x, y, y′x ) h + F ( x, y, y′x ) hx ) ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

y

1

 

 

 

 

 

 

 

y x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

2

F(x,y, yx )

=

(dF(x,y, yx ))

2

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=ε

 

 

F(x, y,yx )h2 +2

F(x,y,yx )hh +

 

 

 

 

 

 

ù

 

 

 

 

 

(

 

 

 

 

F(x,y, yx ) h2)ú

=

 

 

 

 

2

 

 

 

 

y2

 

 

 

 

 

 

yyx

 

 

 

 

 

x

 

 

 

y2

 

x

 

ú

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

û

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= ε x1

( ∂F ( x, y , y x ) h + ∂F ( x, y, y x ) h

′ )dx +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ò

 

 

∂y

 

 

 

 

 

 

 

 

∂y x

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 1 ε 2 x1

( 2 F ( x, y , y x ) h

2 + 2 2 F ( x, y , y x ) hh x + 2 F ( x, y , y x ) hx 2 )dx +

2

ò

 

 

y 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

yy x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

2

 

 

 

 

 

 

x0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ o (ε 2 ) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вводя

обозначения

 

δI для

 

первой

и

 

δ 2 I

для

второй

вариаций

функционала I (y ) , сразу

 

получаем

следующее

 

представление приращения

функционала

I( y):

 

 

 

 

 

 

 

 

I = εδ I + 2

 

 

 

 

I + o(ε

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ε δ

2

2

),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

(∂F (x, y, yx ) h +

∂F (x, y, yx ) hx′)dx ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

δI = ò1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.3.3)

x0

 

∂y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂yx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1

∂ 2 F (x, y, y

 

)

h2

+ 2

∂ 2 F (x, y, y

 

)

hhx

+

∂ 2 F (x, y, y

 

)

hx2 )dx . (2.3.4)

δ 2 I = ò (

 

∂y

2

x

 

 

 

 

∂y∂yx

 

 

 

x

 

 

 

 

∂yx

2

 

x

 

 

x0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для фактического подсчёта δI

и δ 2 I

 

удобно использовать следующие

 

 

d

 

 

 

 

 

 

 

d 2

 

 

 

 

 

 

 

формулы:

δ I =

 

I(y + ε h)

 

,

 

δ 2I =

 

I( y + ε h)

 

 

.

 

Таким

образом,

dε

 

е→ 0

 

dε 2

е→0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вычисление вариации функционала можно свести к вычислению производной функции одной переменной.

22

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности