Pract_tv

D(X )= ba∫[x − M (X )]2 p(x)dx,

или

D(X )= ba∫x2 p(x)dx −[M (X )]2.

Все свойства математического ожидания и дисперсии для дискретных случайных величин справедливы и для непрерывных величин.

Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины определяется равенством

σ(X )= D(X ).

Модой M 0 (X ) непрерывной случайной величины Х называется ее наибо-

лее вероятное значение (для которого плотность вероятности р(х) достигает максимума).

Медианой M e (X ) непрерывной случайной величины Х называется такое ее значение, для которого

P(X < Me (X))= P(X > Me (X))= 12 .

Вертикальная прямая x = M e (X ), проходящая через точку с абсциссой, равной M e (X ), геометрически делит площадь фигуры под кривой распределения на две равные части (рис. 8.7).

р(х)

Рис. 8.7

Очевидно, что F(M e (X ))=1/ 2.

Начальный теоретический момент порядка k непрерывной случайной ве-

личины Х определяется равенством

91

+∞

νk = ∫xk p(x)dx .

−∞

Центральный теоретический момент порядка k непрерывной случайной величины Х определяется равенством

моменты выражаются через начальные моменты по формулам:

μ2 = ν2 − ν12 ,

μ3 = ν3 −3ν1ν2 + 2ν13 ,

μ4 = ν4 − 4ν1ν3 + 6ν12ν2 −3ν14 .

Математическое ожидание М(Х), или первый начальный момент, характеризует среднее значение распределения случайной величины Х; второй центральный момент, или дисперсия D(X ), — степень рассеяния распределения Х относительно М(Х).

Третий центральный момент служит для характеристики асимметрии распределения.

Величина A = μσ33 называется коэффициентом асимметрии случайной ве-

личины.

А = 0, если распределение симметрично относительно математического ожидания.

Четвертый центральный момент характеризует крутость распределения. Эксцессом случайной величины называется число

E = μσ44 −3.

Кривые более островершинные, чем кривая для нормального распределения, обладают положительным эксцессом, более плосковершинные — отрицательным эксцессом.

92

Пример 8.7. Дана функция

При каком значении параметра с эта функция является плотностью распределения некоторой непрерывной случайной величины Х? Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.

Решение. Для того чтобы р(х) была плотностью вероятности некоторой

случайной величины Х, она должна быть неотрицательна, т.е. cxe−x ≥ 0 , откуда c ≥ 0, и она должна удовлетворять свойству 4 плотности вероятности.

Следовательно,

b

Найдем интеграл ∫xe−xdx, применив метод интегрирования по частям

= −be−b − e−x b0 = −be−b − e−b +1.

Таким образом,

и плотность распределения имеет вид

Следовательно,

M (X )= lim (2 −b2e−b − 2be−b − 2e−b )= 2.

b→+∞

Дисперсия D(X )= M (X 2)− (M (X ))2. Вначале найдем

Теперь D(X )= 6 − 22 = 2.

Пример 8.8. Случайная величина Х распределена по «закону прямоугольного треугольника» в интервале (0,a) (рис. 8.8).

Рис. 8.8

1. Написать выражение плотности распределения.

2. Найти функцию распределения F(х).

3. Найти вероятность попадания случайной величины Х на участок от a до а.

2

4. Найти характеристики величины Х: М(Х), D(Х), σ(X ), μ3 (X ).

Решение. Так как площадь прямоугольного треугольника есть площадь фигуры, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс, то она равна

94

Следовательно,

D(X )= M (X 2 )− (M (X ))2 = a2 − a2 = a2 ,

6 9 18

σ(x)= D(x)= 3a2 = a62 .

Так как μ3 = ν3 −3ν1ν2 + 2ν13 , а ν1 = M (X )= a3 , ν2 = M (X 2 )= a62 ,

Пример 8.9. По данным задачи 8.5 найти математическое ожидание М(Х), дисперсию D(Х), моду М0(Х) и медиану Ме(Х).

0 при x ≤ 0 и при x > 2,

Решение. Так как p(x)= F ′(X)= x при 0 < x ≤ 2 ,2

График плотности вероятности р(х) имеет вид (рис. 8.9)

96

Плотность вероятности р(х) максимальна при х = 2, это означает, что М0(Х) = 2.

Me(X )= 2.

Пример 8.10. Дана функция

0 при x ≤1,

F(x)= − 19 x2 + 89 x − 79 при 1< x ≤ 4,

1 при x > 4.

Найти коэффициент асимметрии и эксцесс случайной величины Х. Решение. Плотность распределения случайной величины Х равна

0 при x ≤1 и при x > 4, p(x)= F′(x)= − 92 x + 89 при 1< x ≤ 4.

Так как асимметрия A = μσ33 , эксцесс E = μσ44 −3, то найдем начальные мо-

менты первого, второго, третьего и четвертого порядков:

97

Тогда

μ2 = ν2 − ν12 = 92 − 4 = 0,5,

μ3 = ν3 −3ν1ν2 + 2ν13 =11,2 −3 2 4,5 + 2 8 = 0,2,

μ4 = ν4 − 4ν1ν3 + 6ν12ν2 − 3ν14 = 30,2 − 4 2 11,2 + 6 4 4,5 −3 16 = = 30,2 −89,6 +108 − 48 = 0,6.

Так как D(X )=μ2 = 0,5, то σ(X )= D(X )≈ 0,707; σ3 ≈ 0,353; σ4 ≈ 0,25.

Следовательно,

A = 0,0353,2 ≈ 0,566; E = 00,25,6 −3 ≈ −0,6.

Пример 8.11. Плотность случайной величины Х задана следующим обра-

зом:

0 при x ≤ 0, p(x)= 3х2 при 0 < x ≤1,

0 при x >1.

Найти моду, медиану и математическое ожидание Х. Решение. Найдем математическое ожидание Х:

Так как плотность распределения достигает максимума при х = 1, то М0(Х) =1. Медиану Ме(Х) найдем из условия F(M e (X ))= 12 . Для этого вначале найдем

функцию распределения F(x):

если x ≤ 0, то F(x)= ∫x p(x)dx = ∫x 0dx = 0;

98

Пример 8.12. Случайная величина Х задана плотностью распределения

1 x + 3 при x (0;1), p(x)= 2 4

0 при x (0;1).

Найти математическое ожидание функции Y = X3 (не находя предварительно плотности распределения Y ).

Решение. Воспользовавшись формулой для вычисления математического ожидания функции φ(x) от случайного аргумента Х

M[φ(x)]= ba∫φ(x)p(x)dx,

где а и b — концы интервала, в котором заключены возможные значения Х, получим

Найти моду, математическое ожидание и медиану величины Х.

Решение. Так как p(x)= −34 (x − 4)2 + 34 , то отсюда видно, что при х = 4

плотность распределения достигает максимума и, следовательно, М0(Х) = 4 (можно было найти максимум методами дифференциального исчисления).

Кривая распределения симметрична относительно прямой х = 4, поэтому

М(Х) = Ме(Х) = 4.

99

Задачи для самостоятельного решения

8.15. Случайная величина Х имеет плотность

6 (x2 + x +1 )при 0 < x ≤1, p(x)= 11

0 при x ≤ 0 и при x >1.

Найти математическое ожидание и дисперсию Х.

Ответ: М(Х) = 0,5909; D(Х) = 0,0781.

8.16. Случайная величина Х имеет плотность

Найти математическое ожидание и дисперсию Х.

8.17. Случайная величина Х задана плотностью распределения

Найти математическое ожидание функции Y = X2 (не находя предварительно плотности распределения Y ).

Ответ: π2 − 4 .

8

8.18. Плотность случайной величины Х имеет вид

p(x)= ae−x при x ≥ 0,

0 при x < 0.

Найти коэффициент а. Вычислить моду, ме диану, математическое ожидание, дисперсию, начальные и центральные моменты первого, второго и третьего порядков случайной величины Х.

100