ГЛАВА 6. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Нелинейное алгебраическое уравнение с одной переменной в общем случае может быть записано в виде

где функция f (x) определена и непрерывна на конечном или бесконечном интервале x (a,b) .

Однократный корень называется простым. Два уравнения называются равносильными (эквивалентными), если множества их решений совпадают.

Нелинейные уравнения с одной переменной подразделяются на алгебраические (функция f (x) является алгебраической) и трансцендентные в противном случае. Уже на примере алгебраического многочлена известно, что нули f (x) могут быть как действительными, так и комплексными. Поэтому более точная постановка задачи состоит в нахождении корней уравнения (6.1), расположенных в заданной области комплексной плоскости. Можно рассматривать также задачу нахождения действительных корней, расположенных на заданном отрезке. Иногда, пренебрегая точностью формулировок, просто говорят, что требуется решить уравнение (6.1). Большинство алгебраических и трансцендентных нелинейных уравнений аналитически (т.е. точно) не решается, поэтому на практике для нахождения корней используются численные методы. В связи с этим под решением уравнения (6.1) будем понимать задачу приближенного нахождения корней

уравнения вида (6.1). При этом под близостью приближенного значения x к корню ξ уравнения, как правило, понимают выполнение неравенства

|ξ −x|<ε при малых ε >0 ,

т.е. абсолютную погрешность приближенного равенства x≈ξ .

Используют также и относительную погрешность, т.е. величину |ξ−x| .

|x|

Нелинейная функция f (x) в своей области определения может иметь конечное или бесконечное количество нулей или может не иметь их вовсе.

135

процесс до состояния, позволяющего утверждать наличие пар корней, не различимых с точностью h =ε . Это хорошо известный способ перебора.

По таблице можно построить график функции y = f (x). Корнями

уравнения (6.1) являются те значения х, при которых график функции пересекает ось абсцисс. Этот способ более нагляден и даёт неплохие приближённые значения корней. Построение графика функции даже с малой точностью обычно дает представление о расположении и характере корней уравнения (иногда позволяет выявить даже корни четной кратности). Во многих задачах техники такая точность уже достаточна.

Если построение графика функции y = f (x) вызывает затруднение, следует преобразовать исходное уравнение к виду ϕ1(x) =ϕ2 (x) таким образом, чтобы графики функций y =ϕ1(x) и y =ϕ2 (x) были достаточно

просты. Абсциссы точек пересечения этих графиков и будут корнями уравнения.

ξ2 [1,π].

Допустим, что искомый корень уравнения отделен, т.е. найден отрезок [a,b] , на котором имеется только один корень уравнения. Для вычисления корня с требуемой точностью ε обычно применяют какую-либо итерационную процедуру уточнения корня, строящую числовую последовательность значений xn , сходящуюся к искомому корню уравнения.

Начальное приближение x0 выбирают на отрезке [a,b] , продолжают

вычисления, пока не выполнится неравенство xn−1 − xn < ε, и считают, что xn – есть корень уравнения, найденный с заданной точностью. Имеется

множество различных методов построения таких последовательностей и выбор алгоритма – весьма важный момент при практическом решении задачи. Немалую роль при этом играют такие свойства метода, как простота, надежность, экономичность, важнейшей характеристикой является его скорость сходимости.

137

α =1 сходимость называется линейной, при 1<α <2 – сверхлинейной, при α =2 – квадратичной. С ростом α алгоритм, как правило, усложняется и условия сходимости становятся более жесткими.

Приближённые значения корней уточняют различными итерационными методами. Рассмотрим наиболее эффективные из них.

6.2. Метод половинного деления (бисекции, дихотомии)

Пусть функция f (x) определена и непрерывна при всех x [a,b] и на [a,b] меняет знак, т.е. f (a) f (b)<0 . Тогда согласно теореме 1 уравнение имеет на (a,b) хотя бы один корень. Возьмем произвольную точку c (a,b). Будем называть в этом случае отрезок [a,b] промежутком

существования, корня, а точку c - пробной точкой. Поскольку речь здесь идет лишь о вещественных функциях вещественной переменной, то

вычисление значения f (c) приведет к какой-либо одной из следующих

взаимоисключающих ситуаций:

А) f (a) f (c)<0 Б) f (c) f (b)<0 В) f (c)=0

Если f (c)=0, то корень уравнения найден. В противном случае из двух частей отрезка [a,c] или [c,b] выберем ту, на концах которой функция имеет разные знаки, так как один из корней лежит на этой половине.

За один шаг метода половинного деления промежуток существования корня сокращается ровно вдвое. Поэтому, если за k -е приближение к корню ξ уравнения примем точку xk , являющуюся серединой полученного на k -м шаге отрезка [ak,bk], полагая a0 =a , b0 =b , то придем к неравенству

138

которое, с одной стороны, позволяет утверждать, что последовательность ( xk ) имеет предел – искомый корень ξ уравнения (6.1), с другой стороны, является априорной оценкой абсолютной погрешности равенства xk ≈ξ , что дает возможность подсчитать число шагов (итераций) метода половинного деления, достаточное для получения корня ξ с заданной точностью ε .Для

чего нужно лишь найти наименьшее натуральное k удовлетворяющее неравенству

b2−ka <ε .

Проще говоря, если требуется найти корень с точностью ε, то продолжаем деление пополам до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше 2ε. Тогда середина последнего отрезка даст значения корня с требуемой точностью.

Дихотомия проста и очень надёжна: к простому корню она сходится для любых непрерывных функций f (x) , в том числе недифференцируемых;

при этом она устойчива к ошибкам округления. Скорость сходимости невелика: за одну итерацию точность увеличивается примерно вдвое, т.е. уточнение трёх цифр требует 10 итераций. Зато точность ответа гарантируется.

К основным недостаткам метода дихотомии можно отнести следующие.

1.Для начала расчёта необходимо найти отрезок, на котором функция изменяет знак. Если в этом отрезке несколько корней, то заранее неизвестно, к какому из них сойдётся процесс (хотя к одному из них обязательно сойдётся).

2.Метод неприменим к корням чётной кратности.

3.Для корней нечётной высокой кратности он сходится, но менее точен и менее устойчив к ошибкам округления, возникающим при вычислении значений функции.

Дихотомия применяется тогда, когда требуется высокая надёжность счёта, а скорость сходимости малосущественна.

Один из недостатков дихотомии – сходимость неизвестно к какому корню – характерен почти для всех итерационных методов. Его можно устранить удалением уже найденного корня.

Если x1 есть простой корень уравнения и f (x) липшиц-непрерывна, то вспомогательная функция g(x) = f (x) /(x − x1) непрерывна, причём все нули функций f(x) и g(x) совпадают, за исключением x1, так как g(x1) ≠ 0. Если x1 - кратный корень уравнения, то он будет нулём g(x) кратности на единицу

139

меньше; остальные нули обеих функций по-прежнему будут одинаковы. Поэтому найденный корень можно удалить, т.е. перейти к функции

этого корня она близка к g(x). Чтобы это не сказывалось при нахождении следующих корней, нужно вычислять каждый корень с высокой точностью, особенно если он кратный или вблизи него расположен другой корень уравнения.

6.3. Метод хорд

Логично предположить, что в семействе методов дихотомии можно достичь несколько лучших результатов, если отрезок [a,b] делить точкой c не пополам, а пропорционально величинам ординат f (a) и f (b) .

140

Это означает, что точку c есть смысл находить, как абсциссу точки пересечения

оси Ох с прямой, проходящей через точки A(a, f (a)) и B(b, f (b)), иначе, с хордой

дуги графика функции f (x) . Такой способ

выбора пробной точки, называют методом хорд или методом линейной интерполяции.

Запишем уравнение прямой проходящей через точки А и В:

Метод хорд подобно алгоритму метода бисекции строит последовательность вложенных отрезков [аn,bn], но в качестве xn берется точка пересечения хорды с осью абсцисс :

Длина промежутка локализации корня при этом может не стремится к нулю, поэтому обычно счет ведется до совпадения значений двух очередных приближений с точностью ε . Метод сходится линейно, но близость двух очередных приближений не всегда означает, что корень найден с требуемой точностью. Поэтому, если 0<m≤| f ′(x)|≤M , x [a,b],

рекомендуют продолжать вычисления до совпадения с точностью mε .

M −m

Более надежным практическим критерием окончания итераций в методе хорд является выполнение неравенства

141

отражая их на ось абсцисс с помощью биссектрисы координатного угла

y=x .

Рис.6.4 Сходимость метода простой итерации при ϕ' (x) ≤ q <1.

Как видно из рис. 6.4, если производная ϕ′(x) <0 , то последовательные приближения колеблются около корня, если же производная ϕ′(x) >0 , то

последовательные приближения сходятся к корню монотонно. Справедлива следующая теорема о неподвижной точке.

Теорема: Пусть ϕ(x) определена и дифференцируема на [a,b]. Тогда, если выполняются условия:

Вблизи корня итерации сходятся примерно как геометрическая прогрессия со

143

выбрано ϕ(x) .

Например, для извлечения квадратного корня, т.е. для решения

Очевидно, уравнение имеет три корня, расположенные на отрезках [−3;−2], [−1;0] и [0;1]. Наименьший находится на отрезке [−3;−2].

Т.к. на этом отрезке x2 ≠0, разделим уравнение на x2 . Получим:

Найдем число итераций для достижения заданной точности ε = 12 10−4 ,

решая относительно n неравенство

144

Замечание: Для нахождения двух других корней исходного уравнения методом простой итерации уже нельзя пользоваться формулой: x=x12 −3,

Условие сходимости на этих отрезках не выполнено.

Метод релаксации - один из вариантов метода простой итерации, в котором

ϕ(x) = x −τ f (x),

т.е. равносильное уравнение имеет вид:

x = x −τ f (x) .

Конкретные рекомендации по выбору τ могут быть даны в случае, когда, например, известны оценки сверху и снизу для производной исходной

функции f (x) . Пусть

0≤α≤ f ′(x)≤γ <∞

Параметр τ подбирается таким, чтобы производная ϕ′(x) =1−τ f ′(x) в нужной области была малой по модулю.

1−τ γ ≤ϕ′(x)≤ 1−λα

и значит,

|ϕ′(x)|≤q(τ) =max{|1−τα |,|1−τγ |}

145