13. Транзитивное бинарное отношение.

Примеры транзитивных отношений: «больше», «меньше», «равно», «подобно», «выше», «севернее».

В математике бинарное отношение R на множестве X называется транзитивным, если для любых трёх элементов множества a,b,c выполнение отношений aRb и bRc влечёт выполнение отношения aRc. Формально, отношение R транзитивно, если

14. Понятие отношения порядка.

Антисимметричное транзитивное отношение называется отношением порядка. Если рефлексивное, то отношение нестрогого порядка. Если антирефлексивное, то – строгого порядка.

Бинарное отношение R на множестве X называется отношением порядка, если имеют место

Транзитивность:

Антисимметричность:

Отношение порядка называется нестрогим, если оно

Рефлексивно:

Напротив, отношение строгого порядка

Антирефлексивно (или иррефлексивно) Отношение порядка называется полным (линейным), если любые два элемента множества так или иначе связаны этим отношением, то есть:

Полнота: Полностью (линейно) упорядоченное множество называют также цепью.

Очевидно, полнота (линейность) отношения порядка влечет рефлексивность этого отношения, поэтому такой порядок всегда нестрогий.

Рефлексивное, транзитивное, антисимметричное отношение называется частичным порядком. А рефлексивное, транзитивное (но не обязательно антисимметричное!) отношение называется квазипорядком (или предпорядком).

Обычно отношение строгого порядка (полного или частичного) обозначается

знаком <, а отношение нестрогого порядка — знаком

15. Понятие отношения эквивалентности.

Рефлексивное, транзитивное, симметричное отношение называется отношением эквиваленции.

Отношение эквивалентности — двухместное отношение R между предметами х и у в предметной области D, удовлетворяющее следующим аксиомам (условиям):

1.аксиоме рефлексивности : xRx (предмет находится в отношении R к самому себе);

2.аксиоме симметричности: xRyyRx (если предмет х находится в отношении R к предмету у, то и у находится в отношении R к х);

3.аксиоме транзитивности: xRy&yRzxRz (если предмет х находится в отношении R к предмету у и у находится в отношении R к z, то х находится в отношении R к г). *: Таким образом, отношение типа равенства является одновременно

рефлексивным, симметричным и транзитивным. Примеры: равенство, равномощность двух множеств, обмениваемость товаров на рынке , подобие, одновременность.

Отношение эквивалентности () на множестве — это бинарное отношение, для которого выполнены следующие условия:

(рефлексивность) для любого в X,

(симметричность) если то

(транзитивность) если и то

читается как а эквивалентно b

Классом эквивалентности, элемента , называется подмножество элементов, эквивалентных . Из вышеприведённого определения немедленно следует, что, если

то . Множество всех классов эквивалентности обозначается

X/~.

Примеры: Сравнение по модулю, («а ≡ b (mod n)»).

ВЕвклидовой геометрии :

Отношение конгруэнтности

Отношение подобия

Отношение параллельности прямых

16. Понятие соответствия. Частичное соответствие и полное соответствие.

соответствием – понимают подмножество декартова произведения пары множеств. Первое множество в этой паре называют областью определения соответствия, а второе – областью значений соответствия. Декартово произведение двух и трёх множеств будем обозначать соответственно (A×B) и (A×B×C). Декартово произведение n-равных множеств A будем обозначать (A в степени n). В теоретико-множественном смысле, используя понятие пары, понимают и функцию, как однозначное соответствие, т.е. такое соответствие, в котором не найдётся двух пар таких, что первые компоненты этих пар различны, а вторые компоненты – совпадают. Множество полностью определённых функций, область которых есть множество , а область значений – множество B будем обозначать . B в степени А