2.11. Процессы в импульсных системах

Y (z) = Kз (z)V (z) ,

где Kз

(z) =

K (z)

, а V (z) =

R(z)

.

Q(z)

L(z)

Свободные движения обусловлены корнями zcn , n =

характеристиче-

1, n

ского

уравнения

замкнутой

системыQ(z) = 0 , а

вынужденные

− корнями

zвn , n =

уравнения L(z) = 0 .

1, m

n

z

g

n

k

Y (z) = Y (z) + Y (z) , где Y

(z) =

c

¾¾® y

(k ) =

c

z

cn

=

c

в

с

å cn

g

c

å cn

n=1

z - zcn

n=1

m

z

m

å

g

å

k

Y

(z) =

c

¾¾® y

(k ) =

c

z

вn

.

в

вn

z - zвn

g

в

вn

n=1

n=1

Коэффициенты cсn

и cвn

определяются по формулам разложения в зави-

функция

hз (k) как реакция ИСАУ на ступенчатое решетчатое воздействие

v(k) =1(k)

и вводятся те же понятия: перерегулирование s , время регулирова-

hу

D = 0, 05hу

0 1

2

3

4 k

Основные методы вычисления переходной функции:

1) аналитический (путем разложения изображения Y (z) на

элементар-

ные слагаемые и использования таблиц соответствияz-изображений и ориги-

налов, а также разложение Y (z) в ряд Лорана);

2) Моделирование на компьютере (например, в среде Matlab).

Рассмотрим первый из них.

z

Если Y (z) = Kз (z)V (z) , Kз (z) =

K (z)

и V (z) =

, то Y (z) =

zK (z)

.

Q(z)

z -1

(z -1)Q(z)

Это изображение соответствует первому случаюz-изображения для разложе-

ния на элементарные слгаемые. Оригинал

y(k) = hз (k)

в этом случае вычисля-

K (1)

n

K (zn )

- å

k

hз (k) =

zn .

&

Q(1) n=1

(1 - zn )Q(zn )

Первое

слагаемое

соответствует

установившейся

составляющей

n

( z = eTs =1), а

å(g) − переходной составляющей.

Эта формула пригодна при

Если в K

з

(z) в

характеристическом

уравненииa zn

+ a zn-1

+ ... + a = 0

o

1

n

коэффициенты a

= ... = a

= 0 , то оно сводится к виду a zn

= 0 . Тогда при по-

1

n-1

o

рядке числителя хотя бы на один меньше порядка знаменателя

b zn-1

+ ... + b

b

-1

b

-2

b

-n

K

з

(z) =

0

n-1

=

0

z

+

1

z

+ ... +

n-1

z

.

a zn

a

a

a

0

0

0

0

Сравнивая коэфиициенты

bi

в этом выражении с весамиz-изображения

a0

b0

b0

¥

в выражении

F (z) = å f (k)z-k ,

имеем

f (0) = 0 ;

f (1) =

;…;

f (1) =

;

k =0

a0

a0

z -1

ì

1

ü

Передаточная функция разомкнутой САУ K (z) =

Z í

ý.

z

îs2

þ

v(t)=1(t)

T

1 - e-Ts 1

y(t)

+

s

s

-

Рис. 2.21. Структура ИСАУ

ì 1

ü

Tz

По таблице соответствий Z í

ý

=

, а так как T = 1 с, то

(z -1)2

îs2

þ

Z

ì

1

ü

=

z

и K (z) =

z -1

×

z

=

1

.

í

ý

(z -1)2

z

(z -1)2

z -1

îs2 þ

Переходная функция

-1

{

{ }

}

-1

ì z

1 ü

-1

ì z

ü

í

ý

í

ý

h(k) = Z

Z

1(k)

K (z) = Z

î z -1 z -1þ

= Z

î(z -1)2

þ

=

= kT = 0 + T + 2T + ... = 0 +1 + 2 +K

h(k)

5

·

4

3

·

·

2

·

1

0·

1

2

3 4

k

z

z2 - 2z +1

-

1

1 2

3

0

- 1

- 2

- 3

z - 2 +

+

+

+L =0 ×z

+1

×z

+2 ×z

+3 ×z

+L

z

z

z2

z3

-

z

2

4

2 -

+

z

z2

3

-

2

z2

z

K

K (z)

T

1

Передаточная функция замкнутой системы Kз

(z) =

=

z -1

=

.

1

+ K (z)

1

+

T

z

z -1

Переходная функция замкнутой системы

-1 ì

z

1

ü

-1

ì

1 ü

hз (k) = Z

í

×

ý = Z

í

ý .

î z -1 z

þ

î z

-1þ

При разложении изображения

1

в ряд Лорана получим:

z -1

1

z -1

-

1

1 1 1

1 -

0 × z

0

+ z

-1

+ z

-2

+ z

-3

z

+

+

+ L=

+L

z

z 2

z3

1

0·

1

2

3 4

k

Рис. 2.23. Переходная функция замкнутой ИСАУ

Этот же результат следует и из анализа выраженияhз

(k) = Z

-1 ì z 1

ü

í

ý .

1

î z -1 z

þ

Поскольку

соответствует

сдвигу

в

сторону

запаздывания, то

решетчатая

z

z

функция, соответствующая единичному скачку Z { 1(k) } =

, сдвигается на

z

-1