47.Распределения Больцмана. Барометрическая формула

Обычно газ нах-ся в потенциальном поле тяготения земли. Если бы этого поля бы не было, атмосферный газ рассеялся бы во вселенной. С другой стороны, если бы не было теплового движения, то молекулы атмосферного воздуха упали бы на землю.

Тяготение и тепловое движение приводят к стационарному состоянию газа, при котором происходит убыль концентрации и давлений газа с возрастанием высоты над землей.

Выделим в атмосфере вертикальный столб площадью поперечн. сеч. S=1.

Атмосферное давление на высоте h обусловлено весом столба воздуха, простирающегося от сечения на данной высоте h до внешней границы атмосферы.

Тогда на убыль давления –dp при переходе от высоты h к высоте h+∆h равна весу воздуха, заключенного в элементе объема высоты dh. , где- плотность воздуха на высотеh. Плотность идеального газа можно выразить через массу.

Если учесть ур-ние состояния идеального газа и выразить из него массуи подставить в ур-ние для плотности, получим. Подставим это значение плотности в ур-ние (1), получим:, где- молярная масса воздуха.

Разделив в этом ур-нии переменные и проинтегрировав его, получим: .

Здесь в качестве постоянной инт. выбрали .

Из ур-ния 2 давление p=

Для нахождения коэф. С положим h=0 и получим С = p₀, где p₀ - давление газа на высоте, принятой за единицу отсчета.

Тогда имеем (3).

Это ур-ние справедливо для изотермического T=const процесса и наз. барометрической формулой.

Обозначения:

m – масса молекулы (для газа);

M – молярная масса газа (масса 1 моля газа);

N_A – число Авогадро

R – газовая постоянная

k – постоянная Больцмана.

Связь между нек. из этих величин

R = k N_A ; M = m N_A ; M / R = m / k

Заменим в формуле (3) M / R на m / k

Давление газа можно выразить через энергию теплового движения P= nkT, где n – число молекул в единице объема.

Тогда барометрическую формулу мы можем записать . Т.к. процесс изотермический (T=const для всех высот), k – пост. Больцмана, то можно их сократить, и получим

,

Где - число молекул в единице объема на высоте, взятой за начало отсчета(обычноh=0);

n –плотность молекул на высоте h.

В ур-нии (4) выражение представляет потенц. эн. систE_p .

И формулу (4) можно переписать в виде (5), где– плотность молекул, где,n – плотность молекул, где .

Больцман показал, что формула (5) справедлива в случае потенциального силового поля любой природы. И это ур-ние наз. распределением Больцмана.

48.Ур-ние состояния идеальных газов

Любое кол-во газа хар-ется след. 4-мя величинами: 1)масса m; 2)занимаемый объем V; 3)давление p; 4)температура t.

Запишем наиболее простые эмпирические закономерности для случаев, когда 2( две) из указанных величин явл. const.

А)Закон Бойля-Мариотта

Для данной массы газа m=const и при постоянной температуре T=const давление газа изменяется обратно пропорционально объему pV=const. (1)

Б)Законы Гей-Люссака

1.Давление данной массы газа при постоянном объеме изменяются линейно с температурой (2).

2.Объем данной массы газа при постоянном давлении изменяется линейно с температурой (3)

Коэф. наз. термическим коэф-том давления.

Коэф. наз. термическим коэф-том объема, причем.

Если ввести обозначение температуры T = t +273° -> T – 273 = T , где , то ур-ния (2) и (3) примут вид(5).

Введенная шкала температур T наз. шкалой Кельвина.

Рассмотрим опред. массу m, которая занимает объем , имеет давлениеи нах-ся при температуре.

Пусть в другом состоянии так же масса m хар-ся объемом , давлениеми температурой

Установим на основании законов Гей-Люссака и Бойля-Мариотта связь между ,,и,,

Для перехода от первого состояния ко второму нагреем газ при постоянном давлении до температуры . При этом процессе газ займет объем, т.е.;. Откуда(6).

В рез-те этого нагрева газ окажется в состоянии, характеризуемым объемом , давлениеми температуройи для перехода в окончательное состоянием,,его можно перевести изотермическим изменением объема, для которого из закона Бойля-Мариотта.

Подставим в эту формулу значение (6) и получимили.

Из этой формулы следует, что при изменениях состояния данной массы газа величина pV/T остается постоянной pV/T = B (7), где B = const.

Если в отношении 7 брать не произвольное кол-во газа, а один моль, то постоянная B будет иметь одно и то же значения для всех газов. Эта постоянная обознач. R и наз. газовой постоянной.

Введя в формулу (7) вместо объема V молярный объем , т.е. объем 1 моля газа, получим формулу.

Эта формула явл. ур-нием состояния идеального газа и наз. формулой Менделеева-Клапейрона.

(моль – единица кол-ва вещества (газа), равная кол-ву вещества (газа) системы, в которой содержится столько же структурных элементов (атомы, молекулы, ионы, электроны…), сколько содержится их в 0,012 кг углерода 12-го).

Формулу (8), справедливую лишь для 1 моля газа, можно обобщить на любую массу.

Для этого обозначим через M – молекулярный вес газа. Тогда, если при некоторых данных давлений и температуры 1 моль газа занимает объем , тоm грамм займут при тех же давлении и температуре объем .

Отсюда следует, что для m граммов газа при данных давлении и температуре выр. pV/T также будет в m/M раз больше газовой постоянной R. (9).

Формула (9) представляет собой обобщение формулы Менделеева-Клапейрона и справедлива для любой массы газа.

Молекулы газа, находящиеся в каком-либо сосуде, двигаясь хаотично, сталкиваются со стенками сосуда и оказывают на них давление. Это давление опис. Формулой : (10), т.е. давлениеp, оказываемое газон на стенки сосуда, определяется числом молекул в единице объема, массойm молекул и средним значением квадрата их ск-тей.

Поделив и умножив правую часть ур-ния (1) на 2, получим (11)

Величина есть кинетич. энергия, тогда(12).

Ур-ние (11) и эквивалентное ему ур-ние (12) носят название основной формулы кинетич. энергии газов.

Умножив левую и правую части ур-ния (12) на объем 1 моля газа :.

Здесь величина есть число молекул в молярном объеме, а это естьчисло Авогадро, тогда.

С другой стороны мы имеем (13).

Формула (13) непосредственно связывает среднюю кинетич. энергию поступат. движ. молекул с макроскопическими величинами, характеризующими газ.

Из ур-ния (13) мы можем записать

Газовая постоянная и число Авогадро – величины постоянные, значит их отношение такде величина постоянная , гдеk – постоянная Больцмана.