27.Пружинный маятник. Физический маятник

Примером линейного гармонического осциллятора м.т., совершающей прямолинейные гармонич. колеб. под действием упругой силы может служить пружинный маятник. Пружинный маятник – это груз массойm подвешенный на абс. упругой пружине с коэф. упругости k, характеризующим упругие св-ва пружины, ДУ движения такой системы запишется в виде или

Решение этого ДУ явл. ф-я с циклич. частотой, равнойи периодом

Физич. маятник – тв. тело, имеющее возможность качаться под действием силы тяжести вокруг неподвижно горизонтальной оси О, не проходящей через центр тяжести тела, и называемой осью подвеса.

Центр тяжести физ. маятника совпадает с его центром инерции.

В отсутствие сил трения в оси подвеса ДУ движения маятника имеет вид , где- угол поворота маятника вокруг оси подвеса из положения равновесия;– расст. от центра инерции(масс) маятника до точки подвеса О.- мом. инерции маятника относит. оси подвеса;m – масса маятника.

При малых колебаниях физ. маятника и ур-ние движения физ. маятника принимает видгдеудовлетворяет ДУ гармонич. колебаний. Таким образом, в отсутствие сил трения в оси подвеса малые колебания физ. маятника явл. гармоническими, т.е.где– амплитуда колебаний угла, а- циклич. частота, равнаяс периодом.

28.Математический маятник. Приведённая длина физического маятника

Матем. маятник – м.т., подвешенная на невесомой нерастяжимой нити и совершающая колеб. в вертикальной плоскости под действием силы тяжести.

Матем. маятник представляет собой предельный случай физ. маятника, вся масса кот. сосредоточена в его центре инерции так, что , где- длина нити матем. маятника.

такого маятника как м.т. относительно оси подвеса = , тогда циклич. частота, а период малых колеб..

Для матем. и физ. маятников для периодов мы имеем формулу

Если подобрать параметры этих маятников таким образом, чтобы их периоды совпадали, тогда будем иметь равенство или

Т.е. для того, чтобы периоды физ. и матем. маятников совпадали, необходимо,чтобы их длины удовлетворяли условию , где- наз. приведенной длиной физ. маятника. Точка на прямой, соединяющая точку подвеса и центром масс и лежащая на расстоянии приведенной длины от оси подвеса, наз. центром качания физ. маятника.

По теореме Штейнера для момента инерции физ. маятника мы имеем формулу , где– момент инерции физ. маятника относительно оси подвеса;- момент инерции его относительно оси, проходящей через центр масс, или центр инерции и || оси инерции относительно оси подвеса.

Разделив левую и правую часть ур-ния (1) на , получим:ноесть, тогда, т.е. приведенная длина физ. маятника всегда больше, а точка подвеса и центр качанияO’ лежат по разные стороны от центра масс. Эти точки (подвеса и качания) обладают тем св-вом, что период колебаний физ. маятника не изменяется, если поменять их местами.

29.Затухающие механические колебания

Затуханием колебаний наз. постепенное ослабление колебаний с теч. времени, обусловленное потерей энергии колеб. сист.

Затухание свободных мех. колеб. вызывается главным образом трением и возбуждением в окружающей среде упругих волн. Закон затухания зависит от св-ств колебательной системы. Системы наз линейной, если параметры, характеризующие существенные в рассматриваемом процессе физ. св-ва системы не изменяются в ходе процесса, напр. пружинный маятник не изменяется в ходе процесса (пруж. маятник, движущийся в вязкой среде, представляет собой лин. сист., если сопротивление среды и упругость пружины не зависят от смещения и скорости маятника).

Наиболее часто встречающейся силой, приводящей к затуханию колебания, явл. сила трения где– коэф. трения. Знак “-” потому, что сила трения и ск-ть направлены в противоположные стороны.

Динамическое ур-ние 2-го закона Ньютона при наличии силы трения запис. в виде:

Если ввести коэф. затухания и записать, где– коэф. упругости пружины,- циклич. частота свободных незатухающих колебаний той же системы, т.е. в отсутствие потерь энергии, то ур-ние (1) запишется в виде:

Решением такого ур-ния явл. ф-я , где– постоянные, зависящие от нач. условие;- амплитуда затухающих колеб.

Циклич. частота затухающих колеб. = , гдециклич. частота свободных колебаний;– коэф. затухания.

Тогда период затух. колеб. .

Рассм. некоторые физ. величины, кот. хар-ют затух. колеб. Отношение значений амплитуды отличающихся друг от друга на период T и равная (1) наз.декрементом затухания, а его (2)наз. логарифмическим декрементом затухания, где– промежуток времени, в теч. кот. амплитуда затух. колебаний уменьшается враз и величинаназ. временем релаксации,N- число колебаний, в теч. которого амплитуда уменьшается в раз.

Связь между циклич. частотой затух. колебаний системы и логарифмическим декрементом затухания след.:

Добротностью колеб. сист. наз. безразмерная величина Q, равная произведению на отношение энергииE(t) колебательной системы в произвольный момент времени t к убыли этой энергии за промежуток времени от t до t+T , т.е. за один условный период затухающих колебаний

Т.к. энергия пропорциональна квадрату амплитуды A(t), то

Поскольку для затухающих колеб. то добротность равна

При малых значениях логарифмического декремента затухания колебания почти не затухающиеT=T₀ и значения для Q принимает вид , гдеи- период и циклич. частота свободных колебаний.