1.5 Характеристики замкнутых импульсных систем

Рассмотрим базовую структуру импульсной САУ (рис. 1.3). Пусть найдена передаточная функция разомкнутой импульсной САУ , связывающая-изображения выходаи сигнала ошибки. Тогда. Очевидно, что. Из этих уравнений нетрудно получить два соотношения:

, (1.33)

. (1.34)

Введем следующие обозначения

,, (1.35)

тогда (1.33), (1.34) запишутся как ,.

Функцию будем называтьглавной передаточной функций замкнутой импульсной системы, а –передаточной функцией замкнутой импульсной системы по ошибке. Итак, зная , нетрудно найтии. Еслиесть отношение двух полиномов некоторых степеней относительно, тоитакже будут отношением полиномов. Поэтому в конечном итогеможно представить в виде

. (1.36)

Используя (1.36) и связь , нетрудно найтиразностное уравнение замкнутой импульсной системы, связывающее вход и выход

. (1.37)

Кроме этого, введем еще одну важную характеристику системы – характеристическое уравнение замкнутой системы

, (1.38)

которое является алгебраическим уравнением n-ой степени. Полином называетсяхарактеристическим полиномом замкнутой системы.

Введем также понятие частотных характеристик замкнутой системы. Делая в передаточной функции заменуполучим частотные характеристики, из которых наиболее часто используются– АФЧХ замкнутой системы,– АЧХ замкнутой системы и– вещественная частотная характеристика замкнутой системы. Физический смысл этих частотных характеристик такой же, как и для разомкнутых систем.

Следующим классом характеристик импульсной системы являются временные характеристики: весовая функция импульсной системы ипереходная функция импульсной системы , определяемые следующими соотношениями:

 

,. (1.39)

Физический смысл временных характеристик следующий. Если на вход замкнутой системы поступает сигнал в виде ­функции, изображение которой, то изображение выхода будет равно. Таким образом,, т.е.есть реакция системы на сигнал в виде­функции. Если же на вход системы поступает сигнал в виде единичного ступенчатого воздействия, изображение которого равно, то изображение выхода будет, а оригинал. Таким образом, – это реакция системы на единичное ступенчатое воздействие. Функции исвязаны следующим соотношением.

Если для системы известна весовая функция , то при заданном входе выход определяется следующим образом:

. (1.40)

Выражение (1.40) представляет собой аналог интеграла свертки для импульсных систем.

Пример 1.4. Пусть (см. пример 1.3), тогда, где,,. Нетрудно найти основные характеристики замкнутой системы:

,,

,

,

,

.

1.6. Процессы в импульсных системах

Под процессом в импульсной САУ будем понимать изменение во времени некоторых координат, характеризующих систему. Чаще всего исследуется поведение системы по отношению к выходной координате или по отношению к сигналу ошибки. Будем рассматривать все процессы для дискретных моментов времени , т.е. в виде решетчатых функций , и т.д. Процессы в САУ возникают за счет приложения внешних воздействий (управляющих, возмущений и т.п.), либо за счет изменения значений внутренних координат системы (вариации начальных условий).

Исходными характеристиками при анализе процессов являются разностное уравнение замкнутой системы, главная передаточная функция системы , либо АФЧХ замкнутой системы .

Методы вычисления процессов можно разделить на три категории: аналитические, графоаналитические и методы моделирования с использованием ЭВМ.

С математической точки зрения вычисление процессов – это нахождение решения разностного уравнения (1.37). В теории разностных уравнений доказано, что общее решение уравнения (1.37) всегда представимо в виде суммы двух слагаемых

, (1.41)

где – свободная составляющая общего решения, а – вынужденная составляющая. Свободная составляющая обусловлена ненулевыми начальными условиями по переменной и, если они равны нулю, то . Вынужденная обусловлена входным воздействием и, если , то .

Для оценки динамических свойств системы обычно ищется и наиболее часто для двух видов входного сигнала – единичной ступенчатой функции и – гармонического воздействия, которым соответствуют решетчатые функции , . Реакция системы на сигнал , как отмечено выше, это переходная функция замкнутой системы .

Типичный вид функции приведен на рис. 1.8, на котором представлен

график решетчатой функции и непрерывная функция – огибающая.

Рис. 1.8

Величина  – задается, а  – установившиеся значение функции . Используя график, введем два важнейших показателя качества системы, характеризующие ее динамические свойства: перерегулирование

,

которое измеряется в процентах, и время регулирования , определяемое как момент времени, когда переходная функция, “войдет” в областьи будет оставаться там при. На рис. 1.8, где– целое число. Обычно. Областьбудем называтьтрубкой.

Рассмотрим аналитический способ вычисления переходной функции замкнутой системы . Пусть задана передаточная функция замкнутой системы в виде, гдеиполиномы степенейи, причем. Тогда при входном сигнале, изображение которого равно, изображение выходного сигнала будет

_.

Рассмотрим идею получения для простейшего случая. Пусть характеристическое уравнение имеет простые корни (полюса передаточной функции ), тогда дробно-рациональная функцияразлагается на сумму простейших первого порядка

,,

где считаем . С учетом того, что будем иметь

.

Таким образом, изображение будет иметь вид

,

где .

Каждое слагаемое под знаком суммы является табличным, т.е. для него легко найти оригинал. Окончательно, переходя к оригиналам и обозначая будем иметь

(1.42)

Первое слагаемое в (1.42) характеризует установившуюся (постоянную) составляющую, а второе – переходную.

В случае кратных корней характеристического уравнения в литературе [6] приводят соответствующие выражения для вычисления .

Недостатком такого подхода является необходимость вычисления корней алгебраических уравнений. Кроме того, после получения аналитического выражения, требуется строить график для оценки вида переходного процесса и параметров и . Обычно такой подход применим для систем не выше третьего порядка.

Существуют графо-аналитические способы построения переходного процесса , базирующиеся на вещественной частотной характеристике замкнутой системы. Эти методы изложены, например, в [4], однако в настоящее время мало применяются.

Наиболее распространенный в настоящее время путь вычисления и построения переходной функции – это компьютерное моделирование.

Второй тип процессов, исследуемых в импульсных системах, это процессы, вызванные гармоническими входными сигналами вида . Наиболее просто они определяются для случая установившегося режима (для больших значений дискретного времени ). В этом случае исходной характеристикой является АФЧХ системы.После вычисления АЧХ как и ФЧХ как определяется выходной гармонический сигнал в установившемся режиме

. (1.43)

Итак, вычисляя и , найдем амплитуду гармонического сигнала на выходе и сдвиг его по фазе относительно входа.

Одним из способов вычисления процессов в импульсной системе при любом законе изменения входной величины является рекуррентный пошаговый способ решения разностного уравнения (1.37). Рассмотрим разностное уравнение примера 1.1: при и ,. Уравнение запишем в виде

_.

Будем последовательно задавать значения и т. д., тогда при имеем , но т.к. задано , , то .

При имеем . При получим и т. д. Это совпадает с результатом аналитического решения , полученного ранее в примере 1.1.

Рассмотрим общий случай уравнения (1.37), для чего представим его в следующем виде (принимаем ):

.

Полагаем следующие начальные условия при ,,вход задан для . Последовательно для найдем .

В импульсных системах, в отличие от непрерывных, при определенных параметрах системы возможно существование процессов “конечной длительности”, т.е. достигающих установившегося положения за конечный промежуток времени.

Если в импульсной системе путем подбора параметров ИЭ и ЛНЧ можно в передаточной функции замкнутой системы (1.36) сделать все , , (далее полагаем ), то передаточная функция (1.36) будет иметь вид

,

а разностное уравнение (1.37) соответственно будет

.

Задавая ,,при , а также, можно вычислить переходную функцию . При этом, начиная с n-го момента времени ее значения будут постоянными , т.е. переходной процесс заканчивается за интервалов. Пусть, например, имеем ,,, ,,,тогда найдем , ,.

Итак, в системах с конечной длительностью процессов всегда время регулирования .

Пример 1.5. Пусть передаточная функция , тогда (см. пример 1.2) передаточная функция разомкнутой системы будет

,

где ,,,,.

Пусть ,,,. Тогда с учетом, нетрудно вычислить коэффициенты,,, .

Передаточная функция разомкнутой системы в этом случае будет

,

а замкнутой системы

.

Округляя числа, получим окончательное выражение для расчетов

.

Корни характеристического уравнения будут,. Находим величины, входящие в (1.42). Так как, получим,,. Таким образом, будем иметь

После преобразования комплексных чисел с использованием известных правил получаем окончательно

.

Пример 1.6. Пусть , тогда (см. пример 1.4),,. Передаточная функция замкнутой системы имеет вид. Найдемпри. Очевидно,. По таблице 1 для данного изображения находим оригинал

.

Установившийся процесс в такой системе, при и, будет. Если, процесс будет монотонным, а если колебательным. Пусть выполняется условие , т.е.,что всегда выполнимо. В этом случае имеем систему с процессами конечной длительности, т.е.будет,. Процесс в системе заканчивается через один период.