2.6.2. Вычисление коэффициентов гармонической линеаризации

Если нелинейная характеристика представлена в виде кусочно-линейной, то получить коэффициенты гармонической линеаризации несложно. Отметим общие свойства этих коэффициентов. Если является нечетно-симметричной однозначной характеристикой, то всегда, а (2.46) будет иметь вид

. (2.54)

Для петлевых нечетно-симметричных характеристик можно в интегралах (2.46), (2.47) брать пределы интегрирования от 0 до и удвоить полученные результаты.

Рассмотрим простейший случай. Пусть , т.е. рассматривается идеальное реле. Так как– однозначная нечетно-симметричная нелинейность, то, а

, (2.55)

Для этой же характеристики для случая несимметричных колебаний можно получить

,. (2.56)

В литературе [6, 7] можно найти аналитические выражения коэффициентов гармонической линеаризации ,,практически для любых видов нелинейностей, а также графики их зависимостей от величины амплитуды.

2.6.3. Алгебраический метод определения симметричных колебаний

Пусть нелинейная система, изображенная на рис. 2.2, имеет и передаточную функцию линейной части. Полагаем, что выполняется гипотеза фильтра, т.е. АЧХ является фильтром низких частот, а нелинейность нечетно-симметричной, т.е.. В этом случае имеем следующую модель системы:

,,.

Уравнение замкнутой системы будет

. (2.57)

Полагаем, что нелинейное уравнение (2.57) имеет решение , где,следует определить. После гармонической линеаризации

,

так что с учетом этого уравнение (2.57) будет

. (2.58)

Уравнение (2.58) является гармонически линеаризованным уравнением замкнутой системы. Это линейное дифференциальное уравнение, коэффициенты которого зависят от двух постоянных и− параметров искомого гармонического режима, оно справедливо только для решений подобно типа.

Характеристическое уравнение замкнутой системы будет

. (2.59)

Линейное дифференциальное уравнение имеет гармоническое решение вида только в том случае, если его характеристическое уравнение содержит пару чисто мнимых корней, т.е. подставляя в (2.59), получим условие существования гармонического решения

. (2.60)

Выделяя в (2.60) действительную и мнимуючасти, и приравнивая их к нулю, получим условия существования периодического решения

,. (2.61)

Уравнения (2.61) представляют собой систему двух алгебраических уравнений с двумя неизвестными ,и могут не иметь решения − периодический режим видане существует, иметь единственное решение, что соответствует существованию единственного периодического решения с амплитудойи частотой, и, наконец, иметь несколько решений (возможно бесчисленное множество).

Полагая периодический режим с найденными амплитудой и частотойсуществующим, рассмотрим вопрос об устойчивости этого режима. Предполагается приближенный способ оценки устойчивости периодического режима. Найдем для функцийичастные производные пои

,,

,.

В полученных выражениях положим ,, тогда получим

,,,.

Периодический режим с параметрами ,будет устойчивым, если выполняется неравенство

(2.62)

при условии, что для коэффициентов многочлена

(2.63)

выполняется условие критерия Гурвица [7].

Если найденный периодический режим устойчив, то в системе существуют автоколебания гармонической формы с параметрами ,. если неустойчив, то автоколебаний нет, хотя периодический режим существует.

Предложенный подход можно применить и для анализа несимметричных колебаний. При этом вместо системы двух уравнений (2.61) получим систему из трех уравнений для определения параметров ,,.

Пример 2.4. Пусть в нелинейной САУ рис. 2.2 нелинейный элемент − идеальное реле с характеристикой , а передаточная функция линейной части имеет вид

.

Для нелинейного элемента имеем , а(2.55). Уравнение (2.60) имеет вид

,

из которого получаем уравнения (2.61)

,.

Решая полученные уравнения, найдем амплитуду и частоту периодического режима:

,.

Нетрудно проверить, что для найденных ,, условия (2.62), (2.63) выполняются, т.е. в системе возникают автоколебания и

.