2.3.5. Система с переменной структурой

Структура нелинейной САУ изображена на рис. 2.9.

Рис. 2.9

На этом рисунке нелинейным элементом является логическое устройство, которое на основе измерения сигнала управляет по определенному закону ключом, так что передаточная функция разомкнутой системы может быть либо, либо, т.е. система в процессе работы меняет свою структуру. При включении верхнего звена уравнение замкнутой системы имеет вид

, (2.27)

а при включении нижнего звена

. (2.28)

Характеристическое уравнение такой замкнутой системы будет и, если,, имеет два комплексных корня, т.е. система является нейтральной или находиться на границе устойчивости. Такая система является неработоспособной.

Обозначим ,, тогда уравнения для фазовых траекторий будут

,. (2.29)

Решая уравнения (2.29), получим на фазовой плоскости семейство эллипсов

,

где – произвольная постоянная.

Путем подбора ,сделаем одни эллипсы сжатыми вдоль оси, а другие вдоль оси, как это изображено на рис. 2.10.

Закон переключения ключа выберем следующий: если , то имеем цепь с коэффициентом(рис. 2.10, а), если, то имеем цепь с коэффициентом(рис. 2.10, б). Линиями переключения будут координатные оси фазовой плоскости,. Итак, если изображающая точка находится, например, в первом квадранте, то с течением времени она движется вниз вдоль эллипса до линии переключения(рис. 2.10, а) и далее привдоль эллипса, сжатого относительно осии т.д. Таким образом, с течением времени изображающая точка будет стремиться к началу координат.

Рис. 2.10

В рассмотренном случае процесс будет колебательным. Однако возможно в такой системе организовать скользящий режим. Пусть в структуре рис. 2.9 , тогда уравнения для фазовых траекторий будут

,,

первое из которых при ,описывает эллипсы, а второе при,гиперболы на фазовой плоскости. Первый контур соответствует, как и раньше, нейтральной системе, а второй – неустойчивой системе. Переключение организуем следующим образом: если, работает верхняя цепь (коэффициент), а если, работает нижняя цепь (коэффициент). Таким образом, линиями переключения будут(ось ординат) и прямая, где– параметр, который можно выбирать. Линия скольжения в данном случае не ограничена конечным отрезком, а является всей прямой. Фазовый портрет изображен на рис. 2.11, где волнистая линия – это линия переключения.

Рис. 2.11

2.4. Метод припасовывания

Этот метод применяется для случая, когда нелинейная характеристика в САУ рис. 2.2 представляется в видекусочно-линейной, т.е. на отдельных участках изменения переменной нелинейная характеристика аппроксимируется линейной зависимостью. Теоретически этот подход можно применять для систем любого порядка при вычислении как свободных (), так и вынужденных процессов ().

Основная идея подхода следующая. Диапазон изменения переменной на входе нелинейности разбивается на ряд интервалов, так что в-ом интерваленелинейная функциязаменяется линейной. Тогда в-ом интервале уравнения (2.6), (2.8) или (2.9) становятся линейными и теоретически можно найти общее решение соответствующих линейных дифференциальных уравнений при заданном входе:

(2.30)

где – произвольные постоянные.

Задавая начальные условия для частного (конкретного решения) при условиии полагая в (2.30), находим произвольные постоянные и соответствующие частные решения, которые справедливы только при.

Далее находим значение момента времени , при котором, либо. Припо выражениям (2.30) вычисляем конечные значения решения и его производных, которые принимаем за начальные значения решения в следующемилиинтервалах. Далее процесс поинтервального решения повторяется.

Итак, для каждого -го интервала изменения переменных системы имеем свою линейную модель, которая дает определенное решение, справедливое только для-го интервала. На границах интервалов, там, где, производится припасовывание (склеивание, сшивание) решений: конечные значения решений для-го интервала становятся начальными значениями искомого решения для следующего интервала. Отсюда и название метода –метод припасовывания решений. Фактически он уже применялся для нахождения решений дифференциальных уравнений для фазовых траекторий в пункте 2.3.3. Границы интервалов являются линиями переключения.

Пример 2.3. Пусть в нелинейной системе рис. 2.2 , а нелинейность имеет вид рис. 2.4, а, которая описывается уравнением

(2.31)

Исходная система нелинейных уравнений будет иметь вид

. (2.32)

Исследуем процессы в системе при входном сигнале . Тогда из (2.32) с учетом (2.31) получим три модели системы для трех интервалов:

Общее решение в каждом случае будет иметь вид:

(2.33)

Пусть ,, тогда из первого уравнения (2.33) найдеми решение будет. Найдем момент времени, когда. Это вытекает из решения уравненияпри условии. Моментопределится по формуле

.

По первой формуле (2.33) определяем

.

Конечное значение процесса принимаем за начальное для второй формулы (2.33), тогда получими

. (2.34)

Итак, закон изменения координаты прии

,. (2.35)

Если же , то привыход будет изменяться по закону (2.35), а далее призакон изменения будет (2.34).

При в первом случае на выходе имеем установившееся значение, а во втором.