2.6.5. Вынужденные колебания в нелинейных системах

Рассмотрим НСАУ, структурная схема которой приведена на рис. 2.2, в режиме вынужденных движений, когда на вход системы подается сигнал . Будем искать решение в виде.

Для гармонически линеаризованной системы используем связь изображения ошибки и входного воздействиячерез передаточную функцию замкнутой системы по ошибке. Сделав заменуи подставив значенияив показательной форме, получим

.

После очевидных преобразований имеем

. (2.67)

Здесь – основание натурального логарифма.

Для определения решений (2.67) строится в системе координат линейной части системы зависимость, соответствующая левой части (2.67) (обозначим ее А) и окружность радиуса с центром в начале координат (рис. 2.19,а). Точка пересечения 1 дает искомые значения и. Колебания будут устойчивы (т.е. в НСАУ возникнут автоколебания), если при ростевозрастает значение.

В нелинейных системах наличие автоколебаний зависит от величины внешнего воздействия. Если кривая А начинается не в начале координат, то режим в НСАУ зависит от пороговой величины внешнего воздействия (рис. 2.19,б).

Рис. 2.19

Значение соответствует точке 1 касания окружности линииА. Эта граница раздела движений на колебания (автоколебания), когда и вынужденные колебания, когда. Они могут быть устойчивыми (точка 2) и неустойчивыми (точка 3).

2.7.Устойчивость процессов в нелинейных системах

2.7.1.Основные понятия и определения

Раздел, посвященный анализу устойчивости систем автоматического управления, является традиционным при изложении курса ТАУ. Объясняется это тем, что системы управления с обратными связями (кибернетические системы) склонны к неустойчивости. Устойчивостью любого явления в природе называют его способность достаточно длительно сохранять те формы своего существования, при утрате которых явление перестает существовать. Применительно к САУ этими явлениями являются протекающие в них процессы.

Основные определения и методы анализа устойчивости были даны в работах крупнейшего российского математика Ляпунова А.М.

Рассмотрим простейший случай нелинейной системы первого порядка рис. 2.2, которая описывается нелинейным дифференциальным уравнением

, (2.68)

где − входное воздействие,− исследуемая координата.

Пусть при задано начальное значение искомого решенияи задано определенное входное воздействиепри. В этом случае уравнение (2.68) имеет определенное решение, которое будем называтьневозмущенным процессом (решением, движением). Любое другое решение, обусловленное другими начальными условиями , но при том же воздействии, будем называтьвозмущенным и обозначать . Задача ставится следующим образом: как ведет себя возмущенное движениеотносительно невозмущенногос течением времени, т.е. при, или как ведет себя отклонениепри. Решение этой задачи и составляет предмет математической теории устойчивости.

Анализ поведения решений исходного уравнения можно заменить анализом тривиального решения уравнения

, (2.69)

полученного из (2.68) заменой .

Уравнение (2.68) называется уравнением возмущенного движения в отклонениях. Это уравнение всегда имеет решение .

Рассмотрим общий случай нелинейной системы произвольного порядка, для которой уравнения возмущенного движения в отклонениях имеют вид:

,, (2.70)

где при функции.

Дадим ряд понятий и определений устойчивости, следуя работам Ляпунова.

Невозмущенное решение (положение равновесия) называетсяустойчивым, если при заданном , сколь бы оно мало ни было, существует такое, в общем случае зависящее от, что при начальных отклонениях , будет выполняться условие , при.

Невозмущенное решение называетсянеустойчивым, если хотя бы для одного условие не выполняется.

Если решение устойчиво и дополнительно при,, то невозмущенное решениебудем называтьасимптотически устойчивым.

Если положение равновесия асимптотически устойчиво при любых начальных отклонениях , т.е., то говорят обустойчивости в целом. Если известна величина , то говорят обустойчивости в большом или об устойчивости в области. Если известно, что величина существует и может быть сколь угодно малой, то говорят обустойчивости в малом.

Наконец, если положение равновесия асимптотически устойчиво в целом при любых нелинейных функциях из заданного класса, то говорят обабсолютной устойчивости нелинейной системы (2.70).

Отметим, что в случае линейной системы положение равновесия устойчиво (асимптотически устойчиво) при любых отклонениях, т.е. устойчиво в целом. Кроме этого следует помнить, что устойчивость линейных систем не зависит от характера внешних воздействий, т.е. в этом плане устойчивость (неустойчивость) линейных систем является ее внутренним свойством.