12. Метод потенциалов

Описанный выше распределительный метод решений транспортной задачи обладает одним недостатком: нужно отыскивать циклы для всех свободных клеток и находить их цены. Существует, однако, специальный метод решения, который позволяет автоматически, без размышления выделять свободные клетки с отрицательной ценой цикла и определять их цены. Это так называемый метод потенциалов. В соответ­ствии c этим методом критерий оптимальности плана формулируется следующим образом.

Допустимый план перевозок тогда и только тогда является оп­тимальным, когда каждому пункту отправления и назначения можно со­поставить величину, характеризующую уровень оценки груза в нем (потенциал) так, что множество этих потенциалов удовлетворяет сле­дующим условиям.

1. Разность потенциалов пунктов назначения и отправления, между которыми запланированы перевозки, равна затратам по транспорти­ровке единицы груза между этими пунктами.

2. Аналогичные разности для всех остальных пар пунктов, между которыми не запланированы перевозки, не превосходят затрат по транспортировке.

Иначе говоря, если обозначить через U_i потенциал для i-го пункта отправления, а через V_j - для j-го пункта назначения, то эти условия запишутся так:

V_j- U_i ≤ С_ij

причем V_j- U_i ≤ С_ij, если перевозка из пункта A_i в пункт B_j предусмотрена в плане (x_ij>0).

В транспортной задаче оценки (потенциалы) имеют прозрачный экономический смысл. Они выступают здесь как локальные (поясные) цены (или наценки к единой цене), создающие заинтересованность в правильном направлении перевозок. При такой интерпретации при­знак оптимальности плана представляет собой, по сути, математичес­кое выражение здравого смысла: если какая-то перевозка осуществ­ляется, то цена в пункте потребления равна цене в пункте произ­водства плюс транспортные затраты; в остальных случаях цена V_j не может быть больше, чем U_i +С_ij, так как продукт в пункте B_j по такой цене можно было бы получить, привезя его с затратами из пункта A_i. Следовательно, V_j≤U_i +С_ij , т.е. в обоих указанных случаях разность цен не превышает затрат по перевозке.

С помощью критерия оптимальности можно не только проверить на оптимальность любой план, но и, в случае его неоптимальности, указать способ улучшения этого плана. Приведем пример построения оптимального плана о помощью последовательного улучшения, исходя из некоторого исходного допустимого плана, например, приведенного в табл. 3.4 опорного плана. Для того чтобы проверить план табл.3.4 на оптимальность, прежде всего, вычисляем систему потенциалов (оце­нок единицы продукта) в пунктах отправления и пунктах назначения. Так как потенциалы определяются c точностью до постоянного слагае­мого (важно соотношение между потенциалами, а не их абсолютная ве­личина), какой-нибудь из них можем ведать заранее. Пусть, например, U₁=10, причем через U обозначим потенциалы пунктов отправления, а через V - назначения. Используя тот факт, что разность потен­циалов между пунктами назначения и отправления, ввязанными в пла­не перевозками (см. табл. 3.4), равны соответствующим транспортным затратам, один за другим находим остальные потенциалы:

U₁=10,

V₁= U₁+C₁₁=10+10=20, U₃= V₁-C₃₁=20-8=12,

V₃= U₁+C₁₃=10+5=15, U₄= V₃-C₄₃=15-4=11,

V₄= U₁+C₁₄=10+6=16, V₂= U₃+C₃₂=12+7=19,

U₂= V₁-C₂₁= 20-6= 14 V₅= U₂+C₂₅=14+5=19

Теперь проверим выполнение признака оптимальности. Для этого нужно согласно условию 2 подсчитать величины V_j- U_i -С_ij. Если они все ≤0, то план оптимален, иначе план может быть улучшен.

Находим:

V₁-U₄-C₄₁=10-11-7=-8; V₄-U₂-C₂₄=16-14-6=-4;

V₂-U₁-C₁₂=19-10-8=1; V₄-U₃-C₃₄=16-12-8=-4;

V₂-U₂-C₂₂=19-14-7=-2; V₄-U₄-C₄₄=16-11-6=-1;

V₂-U₄-C₄₂=19-11-5=3; V₅-U₁-C₁₅=19-10-9=0;

V₃-U₂-C₂₃=15-14-8=-7; V₅-U₃-C₃₅=19-12-7=0;

V₃-U₃-C₃₃=15-12-10=-7; V₅-U₄-C₄₅=19-11-8=0.

Для пунктов, между которыми предусмотрены перевозки, эти раз­ности, очевидно, равны нулю и поэтому не выписываются. Так как не­которые из найденных значений разностей положительны, то план не оптимален. Что бы его улучшить, введем в план перевозку в объеме K между пунктами А₄ и В₂, для которых соответствующая раз­ность положительна и максимальна по величине. Однако введение до­бавочной перевозки нарушает сбалансированность плана (объем вво­за в пункт В₂, не соответствует его заявке или объем вывоза из пункта А₄ - его запасу), поэтому необходимо одновременно изме­нить объемы перевозок и между некоторыми другими пунктами.

В табл.3.6 приведен план, содержащий все необходимые изменения в объ­емах перевозок.

Таблица 3.6

ПО ПН	B1	B2	B3	B4	B5	Запасы
A1	11-K 10	8	22+K 5	15 6	9	48
A2	4 6	7	8	6	26 5	30
A3	3+K 8	24-K 7	10	8	7	27
A4	9	K 5	20-K 4	6	8	20
Заявки bj	18	24	42	15	26	125

Нетрудно проверить, что этот план сбалансирован - из каждого пункта вывозится столько, сколько в нем запасено, а каждый пункт назначения получает столько, какова его заявка. Легко убедиться, что затраты по реализации этого плана перевозок меньше первона­чальных на величину

(V₂-U₄-C₄₂ )K=3K. Действительно, эти за­траты равны

L= (11-K)C₁₁+(22+K)C₁₃+15C₁₄+4C₂₁+26C₂₅+(3+K)C₃₁+(24-K)C₃₂+KC₄₂+

+ (20-K) C₄₃=L_пп- (C₁₁-C₁₃+C₃₂-C₃₁+C₄₃-C₄₂

где L_пп - стоимость прежнего плана. С другой стороны, из соотно­шений

V₂= U₃+C₃₂, U₃= V₁-C₃₁, V₁= U₁+C₁₁, U₄= V₃-C₄₃, V₃= U₁+C₁₃ следует, что

(V₂-U₄-C₄₂) =C₁₁-C₁₃+C₃₂-C₃₁+C₄₃-C₄₂, что и доказывает вышеприведенное утверждение. Следовательно, выгодно К вы­брать как можно большим. Поскольку объемы перевозок не могут быть отрицательными, наибольшее возможное значение К равно 11. Пола­гая К=11, находим новый допустимый и опорный экономически бо­лее выгодный план, приведенный в табл.3.7.

Таблица 3.7

ПО ПН	B1	B2	B3	B4	B5	Запасы
A1	10	8	33 5	15 6	9	48
A2	4 6	7	8	6	26 5	30
A3	14 8	13 7	10	8	7	27
A4	9	11 5	9 4	6	8	20
Заявки bj	18	24	42	15	26	125

Нахождением нового опорного плана заканчивается первое при­ближение. Дальше проведенные операции повторяются снова, но уже для нового плана. Прежде всего, вычисляются потенциалы и проверя­ются условия оптимальности. Если они выполнены, то решение закон­чено. Если нет, то снова производится переход к лучшему плану и т.д.