Нулевая гипотеза отвергается на уровне значимости α, если

(п ­–2),

где ( п­– 2) – квантиль уровня 1 – α/2 распределения Стьюдента сп­– 2 степенями свободы.

Пример. Пусть по результатам наблюдения выборки двух переменных объема п = 27 вычислен выборочный коэффициент корреляции = 0,3. Проверить гипотезу об отсутствии корреляции между двумя переменными Н₀ : r = 0; Н₁ : r0 при уровне значимости  = 0,05. Значение статистики критерия равно t = () /= =1,5/=1,572. Критическое значение статистики = 2,06.

Решающее правило имеет вид:

принимается гипотеза Н₀, если – 2,06< t < 2,06; принимается гипотеза Н₁, если t –2,06 или t2,06.

Так как t = 1,572< 2,06, у нас нет основания отклонить гипотезу Н₀. Следовательно, корреляционная связь между исследуемыми переменными отсутствует.

Доверительные интервалы для истинного значения коэффициента корреляции rможно построить, исходя из нормального распределения . Границы интервала ‌r₁, r₂ ‌ можно вычислить по приближенной формуле

r_1,2 = + u _{1– α/2} ,

где u _{1– α/2} – квантильуровня 1 –α/2 стандартного нормального распределения.

Общий случай. Дляпроверки гипотезы об отсутствии корреляционной связи между двумя нормально распределенными переменными Н₀ : r = 0; против двусторонней альтернативы Н₁ : r0 используется следующее решающее правило: гипотеза Н₀  отвергается при уровне значимости ,если>.Критическое значение коэффициента корреляции может быть определено по формуле [14] (Мюллер П..1982кн-ТаблиПМС):

= ,

где – квантиль уровняq распределения Стьюдента с т = п – 2 степенями свободы.

Применение преобразования Фишера

Если коэффициент корреляции rимеет значимое отличие от нуля, то его распределение тем сильнее отличается от нормального, чем меньше объем выборкип и чем больше его абсолютное значение. Распределение выборочного коэффициента корреляции может быть приближенно приведено к нормальному с помощьюпреобразования Фишера

z= 0,5ln(). (7.4)

Фишер показал, что распределение величины z, определяемой соотношением (7.4), прип→ ∞ асимптотически нормально со средним 0,5ln() +и дисперсией 1/ (п–3).

Проверка гипотезы Н₀ : r = r₀. ГипотезаН₀:r= r₀≠ 0 (Н₁:r≠ r₀) о линейном коэффициенте корреляцииrдвумерной нормальной совокупности проверяется по результатам наблюдений выборки (x₁,y₁), (x₂,y₂),…, (x_n, y_n) объемапс помощью статистики

t= (z–ζ₀),

где ζ₀= 0,5ln() +.

Если гипотеза н0верна, статистикаtимеет асимптотически стандартное нормальное распределение.

При двусторонней альтернативе на уровне значимости α гипотеза Н₀отвергается, если>, где– квантиль стандартного нормального распределения уровня 1 – α/2.

Сравнение двух коэффициентов корреляции. ГипотезаН₀:r₁= r₂о равенстве коэффициентов корреляцииr₁и r₂двух двумерных нормальных совокупностей проверяется по результатам наблюдений двух выборок объемамип₁ип₂с помощью статистики

t= (z₁–z₂)/(.

Если гипотеза Н₀верна, статистикаtимеет асимптотически стандартное нормальное распределение. При двусторонней альтернативе на уровне значимости α гипотезаН₀отвергается, если>, где– квантиль стандартного нормального распределения уровня 1 – α/2.

Проверка гипотезы однородности коэффициентов корреляции. Пусть,, …,– коэффициенты корреляции, полученные изkнормально распределенных совокупностей по выборкам с объемамип₁,п₂,…, п_k. Проверяется гипотеза

Н₀:r₁= r₂= …=r_k=r.

Статистика

имеет тогда распределение χ²сkстепенями свободы. Если заменитьzна среднее арифметическое=, то получим, что статистикараспределена по закону χ²с ν =k– 1 степенями свободы.

Если для заданных α и ν = k– 1 выполняется неравенство

χ²(α, k– 1) <,

то гипотеза однородности отвергается с уровнем значимости α. В противном случае гипотеза Н₀не отвергается.