GED / Шевелев / Diskret_mat2

4.(УС2). Самодвойственная функция трех перемен- ных принимает единичное значение на наборах 0, 1, 2, 4. Укажите десятичные эквиваленты наборов, на которых эта функция принимает нулевое значение.

5.Укажите номера самодвойственных функций:

7)f = A B + AC + B C ; 7) f = AC D + ABC + AC D + ABC .

6.Известно, что самодвойственная функция на k на- борах принимает нулевое значение. Сколько существует наборов, на которых она равна единице, если:

(ББД) k =64? (ТМЕ) k =256? (ОРЖ) k =1024?

4.3. Линейные функции

Функция называется линейной, если в алгебре Жегал- кина она может быть представлена в виде полинома пер- вой степени (т. е. без конъюнкций). Например, функции

f1 = A B, f2 = A B C 1, f3 = B 1

являются линейными. Функция f = AС B содержит конъюнкцию, поэтому не относится к классу линейных.

Если n – число аргументов, то все линейные функции можно получить из выражения

коэффициенты, равные нулю либо единице.

Каждому набору коэффициентов соответствует неко- торая линейная функция. Так как всего имеется n + 1 ко- эффициентов, то число M линейных функций равно:

M = 2n+1.

Например, если n = 0 (логические аргументы отсут- ствуют), то M = 2. Это значит, что функции константа нуль и константа единица являются линейными.

Пусть задана булева функция, выраженная через опе- рации И, ИЛИ, НЕ. Для того чтобы установить, является ли она линейной, ее необходимо перевести в алгебру Же- галкина. Если после упрощения в полиноме Жегалкина не останется конъюнкций, то, как было сказано выше, заданная функция является линейной. Например:

f = AB + A B.

Переведем эту функцию в алгебру Жегалкина:

f = AB + A B = AB (1 A)(1 B) = = AB 1 A B AB = A B 1.

Таким образом, функция f = AB + A B относится к

классу линейных.

Класс линейных функций является функционально замкнутым, т. е. в результате суперпозиции линейных функций будут получаться только линейные функции. Чтобы убедиться в справедливости этого утверждения,

подставим вместо какого-либо аргумента, например А1, выражения (4) линейную функцию вида

f1= b0 b1B1 b2B2 … bkBk.

Тогда получим:

f ′ = a0 a1(b0 b1B1 ... bk Bk ) a2 A2 ... an An .

Очевидно, что при а1 = 0 имеем f ′ = f , где f – это

выражение (4), представляющее собой линейную функ- цию. Если же а1 = 1, то функция f ′ , если в ней раскрыть

скобки, будет содержать конъюнкции только констант, следовательно, и в этом случае функция f ′ окажется ли-

нейной.

Упражнения

1. Укажите номера линейных функций:

7)f7 = A + B + C; 7) f7 = A + B + 1.

2.Сколько существует линейных функций, если число переменных:

(Т53) равно 5? (Ц84) равно 6? (Д75) равно 9?

3.(ААК). Укажите номера верных утверждений:

1) если f – линейная булева функция, то f – также

является линейной функцией;

2) если f1 и f2 – линейные функции, то при f1 ≠ f2 их дизъюнкция всегда является нелинейной функцией;

3)если f1 и f2 – линейные булевы функции, то их конъюнкция всегда является нелинейной функцией;

4)если f – нелинейная булева функция, то конъюнк- ция этой функции и ее инверсии есть линейная функция;

5)если f – нелинейная булева функция, то ее инвер-

сия есть линейная функция;

6)если f – нелинейная булева функция, то f f явля- ется линейной функцией;

7)если f – нелинейная булева функция, то дизъюнк- ция этой функции и ее инверсии есть линейная функция.

4. (317). Укажите номера верных утверждений:

1)всякая линейная функция самодвойственна;

2)всякая самодвойственная функция линейна;

3)если f1 – линейная функция, а f2 – нелинейная, то их дизъюнкция не всегда является нелинейной функцией;

4)если f1 – линейная функция, а f2 – нелинейная, то их сумма по модулю 2 всегда нелинейна;

5)инверсия всякой линейной функции является нели- нейной функцией;

6)применяя операцию суперпозиции к нелинейной функции, всегда можно получить линейную функцию;

7)всякая симметрическая функция линейна.

4.4. Монотонные функции

Булева функция n аргументов является монотонной, если при любом возрастании наборов значения функции не убывают [7, с. 38]. Появилось новое понятие – возрас- тающие наборы. Пусть даны два набора a и b

a = a1 a2 … an–1 an; b = b1 b2 … bn–1 bn,

где ai и bi (i = 1, 2, 3, …, n) – двоичные значения отдель- ных разрядов наборов a и b. Если одновременно выпол-

няются условия:

Наборы, на которых выполняются условия (5), на- зываются сравнимыми. Все остальные наборы явля-

ются несравнимыми. Например, относительно наборов а = 010010 и b = 100011 нельзя сказать, что b ≥ a либо

a ≥ b, так как для первых разрядов имеем b1 > a1, а для вторых – a2 > b2.

В вышеприведенном определении монотонной функ- ции говорится только о сравнимых наборах. В связи с этим необходимо отметить, что на несравнимых наборах значения монотонной функции могут и убывать, т. е. пе- реходить с единичного значения на нулевое. Такой случай приведен в табл. 2. При переходе с набора 010

единственную минимальную КНФ, сов- падающую с сокращенной КНФ, причем обе формы не содержат инверсных аргументов. Например, в результате минимизации монотонной функции

f = (3, 5, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 15)

получаем минимальные ДНФ и КНФ без инверсий: f = AB + AC + BD + CD; f = (A + D)(B + C).

Верно и обратное утверждение: если в аналитической записи функции отсутствуют инверсные аргументы, то функция является монотонной. Это утверждение можно использовать в качестве критерия для распознавания мо- нотонных функций. Если же распознавание осущест- вляется при помощи таблицы соответствия, то в общем случае следует проверить все пары наборов, число N которых равно:

N = C2n = 2n−1(2n − 1) = 22n−1 − 2n−1 ,

2

где n – число двоичных знаков в наборе. Например, в слу- чае трехразрядных наборов необходимо проверить 28 пар, в случае четырехразрядных – 120 и т. д. Очевидно, что метод сплошного перебора всех пар наборов доста- точно эффективен лишь при использовании ЭВМ.

Монотонные функции образуют функционально замкнутый класс. Это значит, что никакая система монотонных функций не обладает функциональной полнотой. Доказательство этого утверждения можно найти в [35, с. 53].

2. (ЮАИ). Укажите номера наборов, которые больше

5. (ЕТК). На какие вопросы Вы ответите «да»:

1)может ли линейная функция быть монотонной?

2)может ли самодвойственная функция быть мо- нотонной?

3)существуют ли монотонные функции, инверсии которых представляют собой монотонные функции?

4)является ли монотонной конъюнкция двух моно- тонных функций?

5)всегда ли функция немонотонна, если в ее аналитической записи есть инверсные аргументы?

6)верно ли, что если в ДНФ функции нет инверсных аргументов и все простые импликанты различны, то она

представлена в минимальной форме?

7) всегда ли монотонна функция f1 f2 , если f1 и f2 – монотонные функции?

4.5. Функции, сохраняющие единицу

Булева функция сохраняет единицу, если на единич-

ном наборе значений аргументов она принимает единич- ное значение. Набор называется единичным, если он со- стоит только из единиц, то есть в нем нет нулей. Приме- ром функции, сохраняющей единицу, может служить выражение

f = ABC + BCD + AC D.

Если в этом выражении принять A=B=C=D=1 (набор имеет вид 1111), то функция примет единичное значение. Функция

f = ABC + BCD + AC D

не сохраняет единицу, так как f = 0 при A=B=C=D=1. Пусть некоторая булева функция представлена в

СДНФ. Чтобы определить, сохраняет она единицу или не сохраняет, достаточно выяснить, входит ли в нее

минтерм с максимальным индексом, т. е. с индексом, равным 2n –1, где n – число аргументов функции. На-

пример, функция трех аргументов сохраняет единицу,

если в нее входит минтерм m7. Функция четырех аргументов сохраняет единицу, если в нее входит

минтерм m15, и т. д.

Пусть функция представлена в ДНФ. Чтобы узнать, сохраняет ли она единицу, нет необходимости вычислять ее значение на единичном наборе. Достаточно выяснить, входит ли в нее хотя бы одна конъюнкция без инверсий. Если такая конъюнкция есть, то функция сохраняет еди-

ницу, поскольку во всякую конъюнкцию, не содержащую инверсий, входит минтерм с индексом 2n – 1. В этом лег-

ко убедиться, если конъюнкцию, в которой нет инверсий, разложить по всем не входящим в нее переменным. Пусть, например, некоторая функция f (A, B, C, D) содер- жит конъюнкцию АС. В результате разложения ее по переменным В и D получаем:

AC = A(B + B)C(D + D) =

= ABCD + ABCD + ABCD + ABCD.

Из этого выражения видно, что в конъюнкцию АС входит минтерм m15 = ABCD, принимающий единичное значение на наборе 1111, следовательно, заданная функ- ция f (A, B, C, D) сохраняет единицу.

Пусть функция представлена в КНФ. Эта функция сохраняет единицу, если в каждую ее дизъюнкцию входит хотя бы один неинверсный аргумент. Примером может служить функция вида

ϕ = (A + B + C )(A + C)(A + B + D).

Если в этом выражении раскрыть скобки, т. е. пред- ставить его в ДНФ, то среди всех конъюнкций окажутся

выражения AC и ACD, в которые входит минтерм m15. Следовательно, функция ϕ сохраняет единицу.

Сколько существует функций n аргументов, сохраня-

ющих единицу? Определить это очень легко. В каждую из этих функций входит минтерм с индексом 2n – 1. Все остальные минтермы, число которых равно 2n – 1, могут

входить в функцию в любых сочетаниях. Следовательно, число R функций, сохраняющих единицу, равно

R = 22n −1.

При n = 0 имеем R=1. Это функция константа едини- ца. Если n = 1, то R = 2. Это функции f = 1 и f = A. Если n = 2, то R = 8, и т. д. Таким образом, половина всех функций n аргументов сохраняет единицу и половина – не сохраняет.

Функции, сохраняющие единицу, образуют функцио- нально замкнутый класс, т. е. если в этом классе приме- нять операцию суперпозиции, то всегда будут получаться только функции, сохраняющие единицу. Доказательство можно найти в [7].

Упражнения

4. Укажите функции, сохраняющие единицу:

если функция f единицу сохраняет?

2)верно ли, что всякая линейная функция не сохра- няет единицу?

3)верно ли, что существуют самодвойственные функции, не сохраняющие единицу?

4)верно ли, что всякая монотонная функция сохра- няет единицу?

5)верно ли, что функция f1 + f2 сохраняет единицу,

если функция f1 сохраняет единицу, а f2 – не сохраняет? 6) верно ли, что функция f1 f2 сохраняет единицу,

если функция f1 сохраняет единицу, а f2 – не сохраняет? 7) верно ли, что функция f1 f2 сохраняет единицу,

если единицу сохраняют обе функции?

6. (229). Сколько конъюнкций, не содержащих инвер- сий, имеет минимальная ДНФ симметрической функции

S2,3,4,5 (A, B,C, D, E)?

7. (Л60). На какие вопросы Вы ответите «да»:

1) верно ли, что функция f1 f2 сохраняет единицу, если функция f1 сохраняет единицу, а f2 – не сохраняет?

4) верно ли, что функция f1 f2 f3 сохраняет едини-

цу, если единицу сохраняет каждая из функций f1, f2, f3? 5) верно ли, что функция f1 f2 f3 f4 сохраняет

единицу, если единицу сохраняет каждая из функций

f1, f2, f3, f4?

6) верно ли, что существует хотя бы одна монотонная функция, не сохраняющая единицу?

1. (ОАФ). Укажите значения следующих функций на

2. Укажите функции, сохраняющие единицу:

4)f = (B + C )A + AC ; 4) f = ABC + A + B + C .

3.Сколько существует булевых функций, сохраняю- щих единицу, если они зависят от:

(Т86) трех переменных? (С57) четырех переменных?

4.6. Функции, сохраняющие нуль

Булева функция сохраняет нуль, если на нулевом на-

боре она принимает нулевое значение. Нулевой набор состоит из n нулей, где n – число аргументов булевой функции. Например, функция

f = AB + BC + ACD

сохраняет нуль, так как она равна нулю на наборе 0000, т. е. когда A = B = C = D = 0. Функция

f = AB + AC + AC D

не сохраняет нуль, поскольку на нулевом наборе она при- нимает единичное значение.

Функция, представленная в СДНФ, сохраняет нуль,

если в нее не входит минтерм m0.

Булева функция, представленная в ДНФ, сохраняет нуль, если в ее записи нет ни одной конъюнкции,

содержащей только инверсные переменные. Например, функция f = AB + BCD + ACD сохраняет нуль, так как

неинверсные аргументы есть в каждой конъюнкции. При подстановке значений A = B = C = D = 0 все конъюнкции становятся равными нулю, вследствие чего и сама функция принимает нулевое значение.

Функция, представленная в КНФ, сохраняет нуль, если в ее записи содержится хотя бы одна дизъюнкция (скобочное выражение), все аргументы которой не содержат инверсий. Например, функция

f = (A + B)(B + C + D)(A + B + D )

сохраняет нуль, так как дизъюнкция B+C+D не содержит инверсных переменных, следовательно, на нулевом наборе она равна нулю, вследствие чего и вся функция принимает нулевое значение.

Функция, заданная в КНФ, сохраняет нуль и в том случае, если в ее записи имеется хотя бы один неинверс- ный аргумент, находящийся за скобками. Например:

f = (A + B )(A + B + C )D.

Буква D в этом выражении находится за скобками. На нулевом наборе D = 0, следовательно, и f = 0, т. е. функция сохраняет нуль.

Сколько существует функций, сохраняющих нуль?

Если в функцию входит минтерм m0, то функция нуль не сохраняет, поскольку на нулевом наборе значений аргу-

ментов она принимает единичное значение. Следова- тельно, число Q функций, не сохраняющих нуль, равно:

Q = 22n −1.

Все остальные функции нуль сохраняют. Число V со- храняющих нуль функций равно:

V = 22n − 22n −1 = 22n −1 2 − 22n −1 = 22n −1.

Таким образом, число функций, сохраняющих нуль, равно числу функций, нуль не сохраняющих.

Функции, сохраняющие нуль, образуют функциональ- но замкнутый класс, т. е. в результате применения опе- рации суперпозиции к функциям, сохраняющим нуль, всегда будут получаться только сохраняющие нуль функции. Доказательство этого можно найти в [7].

Упражнения

1. Укажите функции, принимающие нулевое значе- ние на нулевых наборах значений аргументов:

5)f = AB + BC + C D ; 5) f = (A + B )D(E + F ) .

2.(ШУМ). На какие вопросы Вы ответите «да»:

1)верно ли, что инверсия функции, сохраняющей нуль, нуль не сохраняет?

2)верно ли, что всякая сохраняющая нуль функция сохраняет единицу?

3)всякая ли монотонная функция сохраняет нуль?

4)существуют ли функции, одновременно сохраняю- щие нуль и сохраняющие единицу?

5)сохраняет ли нуль функция f1 + f2 , если f1 и f2 – функции, сохраняющие нуль?

6)сохраняет ли нуль функция f1 f2 , если функция f1

нуль сохраняет, а функция f2 – не сохраняет?

4.(Ц84). Сколько существует функций, сохраняющих нуль, если число аргументов равно трем?

5.(УКЗ). Сколько существует функций четырех аргу- ментов, сохраняющих нуль и одновременно сохраняю- щих единицу?

6.(ДС2). На какие вопросы Вы ответите «да»:

f= S0,1,2 (A, B,C, D) ?

4)верно ли, что число функций, сохраняющих нуль, больше числа функций, сохраняющих единицу?

5)верно ли, что если из функции удалить минтерм m0, то получится функция, сохраняющая нуль?

6)сохраняет ли нуль функция f , если f – это функ-

ция, не сохраняющая ни нуль, ни единицу?

7) сохраняет ли нуль функция f1 f2 f3 , если каждая из функций f1, f2, f3 содержит минтерм m0?

4.7. Теорема Поста о функциональной полноте

В предыдущих подразделах рассмотрено пять заме- чательных классов булевых функций, главная особен- ность которых состоит в том, что в результате приме- нения операции суперпозиции к функциям того или ино- го класса получаются функции только того же класса. Кроме этих пяти классов существуют и другие функцио- нально замкнутые классы, однако для проверки полноты системы функций вполне достаточно вышерассмотрен- ных классов самодвойственных, линейных, монотонных, сохраняющих единицу и сохраняющих нуль функций. Критерий полноты дает теорема Поста. Формулируется она следующим образом [7; 16; 35; 43; 56].

Система булевых функций называется функционально полной, если она содержит хотя бы одну нелинейную функцию, хотя бы одну немонотонную, хотя бы одну несамодвойственную, хотя бы одну, не сохраняющую единицу, и хотя бы одну, не сохраняющую нуль.

Доказательство теоремы приведено в [56, с. 152]. На первый взгляд может показаться, что функцио-

нально полная система должна содержать не менее пяти функций. На самом деле это не так. Существуют функ- ции, обладающие одновременно несколькими свойствами из перечисленных в теореме Поста. Например, функция f = AB+CD одновременно является нелинейной и не- самодвойственной. Функция f = AB + AC + BC + A B C

несамодвойственна, нелинейна, немонотонна, не сохраня- ет нуль. А функция f = A + B + C одна образует функ-

ционально полную систему, так как она одновременно яв- ляется несамодвойственной, нелинейной, немонотонной, не сохраняющей нуль и не сохраняющей единицу.

Упражнения

1. (ОАС). Укажите функционально полные системы:

2. Укажите номера функций, каждая из которых образует функционально полную систему:

Л – нелинейная функция; М – немонотонная функция;

С – несамодвойственная функция, укажите, какими из этих свойств обладают функции (при вводе ответов соблюдайте порядок: 0, 1, Л, М, С):

(КОК) f = ABC + A B C ; (Я52) f = A + B + C + A + B + C; (ШЕФ) f = ABC + DE;

(НАЗ) f = (A + B)(A + B)(A + B ); (ЭК7) f = AB C + BCD;

(АМЭ) f = ABCD + C.

4.8. Функции двух аргументов

Два аргумента А и В образуют четыре минтерма: m0 = A B; m1 = A B; m2 = AB; m3 = AB.

Всякое их подмножество определяет некоторую эле-

ментарную булеву функцию. Следовательно, всего существует 16 различных булевых функций двух аргу- ментов. Все они представлены в табл. 3. Эта таблица отличается одной особенностью: функции, расположен- ные на одинаковых расстояниях от начала и конца, явля- ются взаимно инверсными. Например: f0 = f15; f1 = f14; f2 = f13 и так далее до f7 = f8. В связи с этим рассмат- ривать функции будем соответствующими парами.

Первой в табл. 3 указана функция константа нуль. Она принимает нулевое значение независимо от значений аргументов. СДНФ функции константа нуль не содержит ни одного минтерма. Если ее представить в СКНФ, то по-

лучим выражение, в которое входят все макстермы двух аргументов: f = (A + B )(A + B)(A + B )(A + B) = 0.

Инверсией функции константа нуль является функция

константа единица f15 = 1. Эта функция принимает единичное значение независимо от значений аргументов. Ее СДНФ представляет собой дизъюнкцию всех возмож- ных минтермов двух аргументов:

f15 = A B + A B + AB + AB = 1.

CКНФ функции константа единица отсутствует, так как в нее не входит ни одного макстерма.

Таблица 3

в литературе под названием операции Шеффера (штрих Шеффера, функция Шеффера) [7; 15; 16]. Функция Шеф- фера является универсальной, так как она удовлетворяет всем требованиям теоремы Поста и, следовательно, обра- зует функционально полную систему.

Следующая пара функций f2 и f13. Функция f13 = A B + A B + AB = A + B

называется импликацией от А к В и обычно обознача- ется А → В. Читается эта запись так: «Если А, то В». В ка-

честве примера приведем высказывание, в котором содер- жится следующее утверждение: «Если Саша сдаст экза- мен, то пойдет в театр». Введем обозначения: А – Саша сдал экзамен; В – Саша пошел в театр. Здесь возможны четыре случая в зависимости от истинностных значений переменных А и В:

А = В = 0 – Саша не сдал экзамен и не пошел в театр; А = В = 1 – Саша сдал экзамен и пошел в театр;

А= 0, В = 1 – Саша не сдал экзамен, но пошел в театр;

А= 1, В = 0 – Саша экзамен сдал, но в театр не пошел. Если А=В =1, то ясно, что высказывание А → В явля-

ется истинным, т. е. принимает единичное значение. Если

А = 1, В = 0, т. е. Саша экзамен сдал, но в театр почему-то не пошел, то импликация А → В является ложной, так как

противоречит утверждению, приведенному в высказыва- нии. В принципе, можно предположить, что Саша, сдав экзамен, решит все же не пойти в театр, но согласно высказыванию этот вариант полностью исключен. Иное дело, если А = 0. Что будет, если Саша не сдаст экзамен? Об этом в высказывании ничего не говорится. Но мы можем рассуждать. Если А = 0, то возможны следующие две ситуации:

а) Саша не сдал экзамен (т. е. А = 0), но в театр пошел (В = 1). Можно считать ложным это высказывание? Нет. Саша в исходном утверждении не обещал не ходить в театр (и не говорил, что пойдет) при неудачной сдаче экзамена. Но если высказывание не является ложным, то оно истинно;

б) Саша не сдал экзамен (А = 0) и не пошел в театр (В = 0). Ложно ли это высказывание? Тоже нет. И по той же причине: Саша не обещал не ходить в театр (и не

говорил, что пойдет), если не сдаст экзамен. Следова- тельно, и в этом случае импликацию А → В необходимо

признать истинной.

Таким образом, высказывание А → В является лож- ным только в том случае, когда оно противоречит ут-

верждению, содержащемуся в импликации. Если принять А → В = 1 при А = 0, то противоречия не получим, следо- вательно, А → В = 1 при А = В = 0 и при А = 0, В = 1.