|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
107 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Определите число вершин дерева и число его |
рую |
грань, |
|
пересекающая |
еще какое-либо ребро, вхо- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
ребер, если код дерева задан семейством: |
|
|
дящая в следующую грань и так далее и входящая снова в |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
(ТТ2) (1,2,3,4); |
(ЛЯ6) (1,1,1,2,2); |
(ТЕЗ) (1,1,1,1,2). |
исходную грань. |
Очевидно, что |
эта |
|
линия |
есть |
не |
||||||||||||||||||||||||||||
1 |
2 |
|
|
1 |
2 |
|
|
|
3 |
|
1 |
5 |
|
что иное, |
как простой |
цикл |
двойственного графа. |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
Если |
отыскать |
все |
эти |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
3 |
4 |
5 |
|
6 |
4 |
|
|
|
|
6 |
|
|
а1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
простые |
циклы, |
то |
тем |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а3 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а5 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
7 |
|
|
|
|
а2 |
|
|
|
|
|
|
самым будут найдены и все |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
9 |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
а4 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
7 |
|
8 |
|
|
|
8 |
|
|
4 |
10 8 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
разрезы. В качестве приме- |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
г |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ра рассмотрим рис. 48, |
где |
|||||||||||
|
Рис. 44 |
|
|
|
Рис. 45 |
|
|
|
Рис. 46 |
|
|
|
|
в |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а6 |
|
|
а7 |
|
|
|
приведен граф на пяти вер- |
|||||||||||||||||||||
6. |
По коду дерева найдите номера висячих вершин: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
шинах и двойственный ему |
||||||||||||||||||||||||||
(904) (1,4,3,3,3,5); |
|
|
(ЗАМ) |
|
|
(1,5,5,5,6,6); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
граф, |
изображенный |
пунк- |
|||||||||||||||||||
(ППШ) (2,2,2,2,3,4,5); |
|
(ТИН) (6,6,6,1,1,4). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Рис. 48 |
|
|
|
тирными линиями. |
В дан- |
|||||||||||||||||||||||||||
(ФА1). Найдите код дерева (рис. 46). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
ном случае каждый цикл двойственного графа содержит |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
7. |
Укажите степени вершин дерева (номера вершин |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вершину а. В связи с этим воспользуемся методом, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
упорядочить по возрастанию), если его код имеет вид: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
описанным |
|
в |
подразделе |
2.3, и |
найдем |
все простые |
|||||||||||||||||||||||||||||||
(ТПИ) |
(2,6,3,4,3,6,2,3); |
|
(С53) |
(1,4,11,1,1,4,2,2,11); |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
циклы, содержащие вершину а: а1а2; а4а5; |
а1а6а3; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
(314) (4,4,2,5,5,3,6); |
|
|
(ЗУШ) |
(1,4,1,4,6,6,6,6). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
а2а6а3; |
|
а3а7а4; |
а3а7а5; |
а1а6а7а4; |
а1а6а7а5; |
а2а6а7а4; |
|||||||||||||||||||||||||||||
8. |
Укажите номера вершин дерева, |
степени которых |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
а2а6а7а5, |
где символами а1, а2, …, а7 |
обозначены ребра |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
равны двум, |
если дерево задано кодом: |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
двойственного графа. Между ребрами двойственного и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
(ВИК) |
(2,1,5,1,4,7,8); |
|
(Р88) |
(5,6,5,4,3,4,8); |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
основного графов имеется соответствие (рис. 48): |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
(327) (3,5,6,4,7,7); |
|
|
(ТАН) (2,6,5,2,3,4,4). |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
a1 – {1,4}; |
а2 – {1,2}; |
a3 – {4,5}; |
a4 – {2,3}; |
|||||||||||||||||||||||||||||
9. |
Укажите номера вершин дерева, |
степени которых |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
a5 – {3,5}; |
a6 – {2,4}; |
a7 – {2,5}. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
равны трем, |
если дерево задано кодом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
На основе этого соответствия, находим разрезы: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
(41Р) (5,8,6,6,3,5,3,3); |
|
(ШИТ) |
(2,3,1,4,4,1,2,6,6); |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1) |
{{1,2}, {1,4}} |
(рис. 49); |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
(МХС) |
(2,2,2,1,3,1,9,9); |
|
(ТКУ) |
(2,2,1,1,6,6,1,7,7). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
2) |
{{2,3}, {3,5}} |
(рис. 50); |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
10. (411). На какие вопросы Вы ответите «да»: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
3) |
{{1,4}, {4,5}, {2,4}} |
(рис. 51); |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
1) |
можно |
ли |
по |
коду |
|
дерева |
найти |
номера его |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
4) |
{{1,2}, {4,5}, {2,4}} |
(рис. 52); |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
вершин? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5) |
{{2,3}, {4,5}, {2,5}} |
(рис. 53); |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2) |
изоморфны |
ли |
деревья, |
коды |
которых |
имеют |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
6) |
{{3,5}, {4,5}, {2,5}} |
(рис. 54); |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
вид |
(1,1,1,1) |
и (4,4,4,4)? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
7) |
{{1,4}, {2,3}, {2,5}, {2,4}} |
(рис. 55); |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
3) |
всякое ли дерево, содержащее хотя бы одно ребро, |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
8) |
{{1,4}, {2,4}, {2,5}, {3,5}} |
(рис. 56); |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
является двудольным графом? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
9) |
{{1,2}, {2,4}, {2,5}, {2,3}} |
(рис. 57); |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
4) |
верно ли, |
что если к дереву добавить ребро, то |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
10) |
{{1,2}, {2,4}, {2,5}, {3,5}} |
(рис. 58). |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
получится граф, |
содержащий цикл? |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Подробности о разрезах можно найти в [51, 12, 16]. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
5) |
верно ли, что если из дерева удалить одно ребро, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
2 |
|
3 |
|
|
1 |
|
2 |
3 |
|
1 |
2 |
3 |
|
1 |
2 |
3 |
|
1 |
2 |
3 |
||||||||||||||||
то получится двухкомпонентный граф? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
6) верно ли, что всякий двудольный граф является |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
деревом? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
5 |
|
|
|
|
|
4 |
5 |
|
4 |
5 |
|
|
4 |
|
5 |
|
|
4 |
5 |
||
7) |
всякое ли дерево является планарным графом? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Рис. 49 |
|
|
Рис. 50 |
|
Рис. 51 |
|
Рис. 52 |
|
Рис. 53 |
||||||||||||||||||||||||||||
8) существуют ли деревья, у которых все вершины |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
являются висячими? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
3 |
|
|
1 |
|
2 |
3 |
|
1 |
2 |
3 |
|
1 |
2 |
3 |
|
1 |
2 |
3 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3.11. Разрезы |
|
|
|
|
4 |
|
5 |
|
|
|
|
4 |
|
|
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
5 |
|||||||
Разделяющим множеством графа G называется такое |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
4 |
|
5 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
Рис. 54 |
|
|
Рис. 55 |
|
Рис. 56 |
|
Рис. 57 |
|
Рис. 58 |
||||||||||||||||||||||||||||
множество его ребер, после удаления которых получается |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
несвязный граф. Например, |
если из графа (рис. 31) уда- |
Упражнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
лить ребра {2,3}, {2,4}, {3,4}, {1,5}, {2,5}, то получится |
1. |
(НИР)! Сколько разрезов, состоящих из двух |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
двухкомпонентный |
граф |
(рис. |
|
47). |
Следовательно, |
ребер, |
|
содержит граф, приведенный на рис. 28? Сколько |
|||||||||||||||||||||||||||||
множество |
{{2,3}, {2,4}, {3,4}, {1,5}, {2,5}} |
|
(3) |
в нем разрезов, содержащих по 3 ребра? |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2. |
(ИЯВ)! Сколько в графе, приведенном |
на рис. 59, |
||||||||||||||||||||||||||||||||
является разделяющим. Разрезом называется такое |
разрезов, |
содержащих по два ребра? |
по три ребра? по |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
разделяющее |
множество, у |
которого |
нет |
ни |
одного |
четыре ребра |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
подмножества. |
Например, |
|
|
|
|
|
|
|
? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
разделяющего собственного |
3. |
( |
ЛИГ |
). |
Сколько разрезов в |
вершинном дереве |
? |
||||||||||||||||||||||||||||||
множество (3) разрезом не является, так как оно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n- |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
имеет |
4. |
(ДИД)! Сколько в графе (рис. 60) разрезов, содер- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
разделяющее подмножество |
|
|
|
|
|
|
|
|
жащих по два ребра? по три ребра? по четыре ребра? |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
{{2,4}, {3,4}, {1,5}, {2,5}}. |
|
(4) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
5. |
(УКЕ). В связном графе 15 вершин. Степень каж- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Если из |
|
множества (4) |
вернуть на |
дой вершины равна двум. Сколько разрезов имеет граф? |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
3 |
4 |
прежнее место какое-либо ребро, то граф |
|
|
3 |
|
|
|
|
6 |
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
2 |
|
3 |
|
|
|||||||||||||
окажется связным. Следовательно, это |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
множество есть разрез. Как найти разре- |
|
|
2 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
4 |
|
||||||||||||||
5 |
|
|
зы? В случае плоских графов разрез – это |
|
|
1 |
|
|
|
|
4 |
|
|
5 |
|
4 |
|
|
|
6 |
|
5 |
|
|
|||||||||||||
Рис. 47 |
|
линия, |
выходящая из какой-либо грани, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
Рис. 59 |
|
|
Рис. 60 |
|
|
|
Рис. 61 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
пересекающая ребро, входящая во вто- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|