4. Модель жидкой капли. О ядерных моделях.

Свойство насыщения ядерных сил, вытекающее в свою очередь из их короткодействия и отталкивания на малых расстояниях, делает ядро похожим на жидкость. Силы, связывающие молекулы жидкости, тоже насыщаются, а энергия испарения линейно увеличивается с увеличением массы. На этой основе был создан способ описания ядра в модели жидкой капли (Вайцзеккер, 1935 г.).

Зачем вообще нужны модели ядра, заранее навязывающие ему определенные свойства? Можно ли решить задачу без моделей, строго?

Ядро - совокупность нуклонов, каждый из которых сохраняет свою структуру и свойства. Действительно, масса нуклона 940МэВ/с², а для перевода нуклона в первое возбужденное состояние нужна энергия 300 МэВ. В то же время средняя кинетическая энергия нуклона в ядре

<T_N> 20 ÌýÂ.

Так же как в кинетической теории газов можно не учитывать атомную структуру, а при описании атома - ядерную, при описании ядра можно не учитывать структуру нуклонов. Кроме того, т.к. <T_N> 20 ÌýÂ << m_Nc² 940 МэВ, то правомерно использование нерелятивистской квантовой теории, т.е. уравнения Шредингера для системы A частиц. Гамильтониан ядра может быть записан в виде

,

ëèáî

, (2.6)

ãäå - оператор кинетической энергии нуклона,- потенциал взаимодействия нуклонов и (парный потенциал) и вышеприведенные два варианта записи энергии взаимодействия исключают учет энергии взаимодействия одной и той же пары нуклонов дважды.- близок к потенциалу элементарного нуклон-нуклонного (NN) взаимодействия. Последнее уточняется в физике высоких энергий (физике частиц), а на долю теории ядра остается решение задачи многих тел.

Трудности решения уравнения äëÿ ÿäðà:

1. NN-взаимодействие до конца не изучено.

2. Проблема A сильно взаимодействующих тел строго не реше-

на для A>4 (это главная трудность).

Эту последнюю трудность можно обойти, используя для упрощения модели ядра, в которых уже задаются (угадываются) некоторые наиболее существенные его свойства. Одна из первых и простейших моделей ядра - модель жидкой капли, откуда следует формула Вайцзеккера для энергий связи ядер.

5. Формула Вайцзеккера.

Объемная, поверхностная и кулоновская энергии.

Ниже получается формула для энергии связи ядра в основном состоянии в модели жидкой капли – формула Вайцзеккера. Сходст-во жидкой капли и ядра основано на следующих двух пунктах:

1. В обоих случаях энергия связи пропорциональна числу составляющих частиц.

2. Радиальная форма NN-потенциала (рис. 2.4) аналогична (если не учитывать разницу в масштабах) потенциалу Леннард-Джонса для двух молекул.

Ðèñ. 2.4

В формулу энергии связи для ядра входит ряд членов:

Объемная энергия. Энергия связи ядра тем больше, чем больше в н¸м нуклонов или объем ядра. Поскольку этот объем пропорционален A, то энергию ядра в первом приближении можно записать в виде так называемой “объемной” энергии

E_îá = +a_vA, (2.7)

ãäå a_v - константа (>0).

Если этим ограничиться, то мы имеем дело с бесконечной ядерной материей (поверхностные эффекты не существенны), лишенной заряда (пренебрегаем кулоновским отталкиванием).

Поверхностная энергия. Нуклоны на поверхности связаны менее сильно, чем внутри, т.к. взаимодействуют с меньшим числом своих партнеров, чем внутренние нуклоны. Если в бесконечной ядерной материи провести поверхность, ограничивающую ядро, и отбросить нуклоны вне е¸, то оставшиеся у поверхности нуклоны ядра потеряют половину своих связей.

Число потерянных связей пропорционально числу нуклонов на поверхности, а следовательно и площади поверхности, которая равна S=4R²=4r₀A^2/3, ãäå R=r₀A^1/3 - радиус ядра. Итак, за счет поверхности, энергия связи уменьшается на величину a_sA^2/3, т.е. в формулу для энергии связи необходимо добавить (со знаком “минус”) слагаемое, которое будем называть поверхностной энергией

E_ïîâ = a_sA^2/3, (2.8)

ãäå a_s – константа (a_s>0).

На нуклон, находящийся на поверхности, действует результирующая сила, направленная внутрь ядра. Поэтому поверхностные нуклоны стремятся сжать ядра, создавая, как и в капле жидкости, поверхностное натяжение, энергия которого и определяется выражением (2.8).

Кулоновская энергия. Эту энергию легко оценить для заряда, равномерно распределенного по объему сферы с плотностью . Тогда энергия кулоновского отталкивания, уменьшающая энергию связи, дается классической электростатической энергией такого распределения

E_êóë , (2.9)

ãäå ÌýÂ.

Ограничиваясь членами (2.7)-(2.9) нельзя получить правильный ход линии стабильности. Для легких ядер эта линия отвечает приблизительному равенству чисел протонов и нейтронов (NZ). В то же время, из выше рассмотренных трех членов для энергии связи, при фиксированном A от Z зависит лишь кулоновский. Ввиду этого максимум энергии связи достигается при Z=0 и стабильные ядра должны были бы состоять из одних нейтронов. Очевидно это не так и связано это с тем, что не учтена квантовая природа ядерной капли.