39.Считая спектр низших возбужденных состояний ядра 60Ni следствием коллективных квадрупольных колебаний, оценить жесткость с ядра никеля.

Энергия одного фононного возбуждения с данной мультипольностью зависит

от свойств ядра, в первую очередь от т.н. «жесткости» ядра С.

Жесткость (rigidity) у ядер с замкнутыми оболочками или подоболочками выше,

чем у других ядер. Коэффициент D связан с массой колеблющейся системы.

Потенциальная энергия коллективных колебаний определена вторым членом формулы . Среднее значение этой энергии в состоянии с данным числом фононов связано с величиной среднеквадратичной деформации β в состоянии с данным числом фононов. Проведем расчет для случая квадрупольных колебаний (λ=2)

Среднеквадратичная деформация в состояниях с N=0, N=1 и т.д. равна

Вероятность перехода между основным и первым возбужденным состоянием 2⁺ равна

Из полученного значения среднеквадратичной деформации и величины энергии первого возбужденного уровня получим величину жесткости ядра С:

40. Доказать, что значения спинов двухфононных возбуждений четно-чет-

ных ядер могут составлять только 0,2 и 4 /1 и 3 исключены/.

Значения 1 и 3 исключены. Этот экспериментальный факт является следствием свойств двухфононных волновых функций:

Состояние с одним квадрупольным фононом имеет волновую функцию

Двухфононное состояние имеет волновую функцию

Волновая функция двухфононного состояния с полным моментом количества движения J строится из волновых функций однофононных состояний с помощью коэфициентов векторного сложения (коэфициентов Клебша-Гордона):

Используем нормировку волновых функций и их представление в виде операторов рождения фонона, действующих на вакуумное состояние:

Операторы рождения и поглощения подчиняются соотношению коммутации. Для разных по квантовым числам операторов это соотношение имеет вид:

Используем коммутационное соотношение для преобразования операторной части нормировки (это т.н. процедура Вика- перенос операторов поглощения вправо от операторов рождения)

При подстановке в нормировку двухфононного состояния используем свойства коэфициентов векторного сложения (К.К-Г):

а также то, что сумма квадратов ККГ по всем возможным проекциям равна 1.

Итогом расчета нормировки оказывается соотношение:

Вывод состоит в том, что нормированные на 1 волновые функции двухфононного состояния могут существовать лишь для четных значений спина двухфононного состояния. Значения J=1 и J=3 не имеют физического смысла. Этот теоретический вывод подтверждается экспериментальными данными.

41. Оценить величину среднеквадратичной деформации для однофононных и

двухфононных возбужденных состояний ядра ⁶⁰Ni.

Оценим величину среднеквадратичной деформации четно-четного ядра ⁶⁰Ni (Z=28) для однофононного возбужденного состояний из данных по вероятностям Е2 переходов.

Вероятность перехода между основным и первым возбужденным состоянием 2⁺ равна

(см. БМ, т.2, стр. 55)

Из полученного значения среднеквадратичной деформации и величины энергии первого возбужденного уровня (см.рис.7.2) получим величину жесткости ядра С:

42. Рассчитать средние значения потенциальной и кинетической энергий

квадрупольных колебаний в однофононном и двухфононном состояниях.

Решение:

Средняя потенциальная (а также кинетическая) энергия квадрупольных колебаний в состоянии с N фононами:

43. Доказать ( используя терему Вигнера-Эккарта ), что внешний квадрупольный момент ядер со спином 1 или меньше 1 равен 0.

Решение:

Введем определение электрических мультипольных операторов с мультипольностью λ:

По определению, квадрупольный момент ядра связан с оператором, действующим в пространстве волновых функций ядра:

Измеряемое значение квадрупольного момента определяется как диагональный матричный элемент оператора Q в состоянии с проекцией спина, равной спину. Этот матричный элемент пропорционален диагональному матричному элементу от оператора M:

При расчете матричного элемента оператора квадрупольного момента матричный элемент угловой части имеет следующий вид: .

Используем для его анализа теорему Вигнера –Эккарта(ТВЭ):

Один из выводов из ТВЭ состоит в том, что матричные элементы любого оператора зависят от проекций моментов только через коэфициенты Клебша-Гордона. Для рассматриваемого нами случая диагонального матричного элемента от квадрупольного оператора

Условиями не равенства нулю ККГ являются

.

Таким образом, измеряемый (т.н. внешний) квадрупольный момент ядра равен 0, если спин ядра меньше 1. Он равен 0 для всех четно-четных ядер, хотя многие из них являются несферическими и имеют внутренний квадрупольный момент, отличный от 0.