3. Дополнительные вопросы физики слабого взаимодействия

1. В слабом взаимодействии, возникающем за счет обмена W-частицами (“заряженные токи”), участвуют только “левые” фермионы и “правые” антифермионы – кварки и лептоны. Понятие “левой” частицы в общем случае связано со свойствами решений уравнений Дирака. Именно, если

(x) = (3.42)

есть решение (четырехкомпонентное) уравнения Дирака, то “левой” частицей называется частица, описываемая волновой функцией _L:

_L(x) = 1/2(1+⁵)(x), (3.43)

где четырехмерная матрица

⁵=(3.44)

Соответственно, правой частице отвечает волновая функция _R:

_R(x) = 1/2(1⁵)(x), (3.43a)

Если, однако, частицу можно эффективно считать безмассовой или если ее импульс p>>m, то “левость” или “правость” фермиона совпадают с его спиральностью , определяемой как проекция спина на направление движения:

=(s n), (3.45)

где s– спин, аn– единичный вектор вдоль направления движения.

Таким образом, в условиях p>>m в слабом взаимодействии с обменом W-мезоном участвуют только фермионы с отрицательной спиральностью и антифермионы – с положительной.

В слабом взаимодействии с обменом Z-мезоном (“нейтральные токи”) участвуют как правые, так и левые фермионы, правда с разными интенсивностями.

2. Тот факт, что в слабом взаимодействии участвуют левые фермионы, приводит к кинематическим запретам на протекание некоторых реакций, а также к фундаментальному свойству несохранения четности.

Простейшей иллюстрацией кинематического запрета, связанного с левостью и правостью фермионов, является реакция (, e) упругого рассеяния назад. Как видно из рис.3.1 , (, e) рассеяние назад запрещено, поскольку проекция спина на ось столкновения меняется на единицу. Напротив, рассеяние (, e) назад является возможным. Более реалистическим проявлением левости слабого взаимодействия будет невозможность распада W-мезона с проекцией спина на ось распада, равной нулю (рис.3.2).

Наконец, прекрасной иллюстрацией своеобразного характера слабого взаимодействия является соотношение каналов распада +_, e +_eпри распаде отрицательного пиона. Действительно, зная резкую зависимость вероятности распада от выделяющейся энергии, мы могли бы ожидать, что в распаде пиона будет доминировать канал (e_e), в котором выделяется на 100 Мэв больше энергии. Между тем, отрицательный пион почти полностью распадается по каналу+_. Этот парадокс легко разрешается, если учесть обсуждаемую особенность слабого взаимодействия. Действительно, как видно из рис.3.3, при распаде пиона с нулевым спином спиральность электрона должна быть положительной, поскольку этого требует закон сохранения момента количества движения – спиральность антинейтрино положительна. Но электрон с положительной спиральностью не участвует в слабом взаимодействии и, следовательно, канал распада

^ e^+_e

должен отсутствовать. Эти соображения, однако, не применимы к каналу +_. Дело в том, что левость и правость частицы однозначно связаны со спиральностью только в пределе эффективно безмассовых частиц. Однако, при распаде пиона (m_=140 Мэв) мюон (m_=105 Мэв) ни в коем случае нельзя считать безмассовым. Поэтому левость мюона не запрещает его правую поляризацию!

3. Разный характер слабого взаимодействия левых и правых частиц автоматически предопределяет несохранение четности в слабых процессах. Как мы уже знаем, (см.Гл.II,§4), сохранение четности означает, что амплитуда“прямого процесса “

| i>|f>

и амплитуда ”отраженного процесса”

| i_P>|f_P>

должны быть одинаковыми:

=

Здесь состояния i, f>_pполучаются из исходныхi, f> действием оператора инверсии Р, например,

i_P> = Pi>.

Почти очевидно, что слабое взаимодействие не обладает симметрией пространства и поэтому нарушает закон сохранения четности.

Действительно, рассмотрим действие оператора Р на состояние p> с определенным импульсом р и спиральностью=(sn). Как мы уже знаем, при инверсии направление движения меняется на противоположное, а ориентация спинов не меняется. Поэтому

Pp> =p>, (3.46)

где – некоторый фазовый множитель=1, несущественный для нас. Из (3.46) видно, что при инверсии частицы меняют спиральность и, следовательно, левые частицы превращаются в правые и наоборот. Мы знаем, однако, что в слабом взаимодействии участвуют только левые частицы и правые античастицы. Поэтому слабое взаимодействие очевидным образом несимметрично относительно инверсии пространства.

5. Слабое взаимодействие нарушает не только симметрию относительно инверсии пространства, но и зарядовую симметрию (С). Это проще всего увидеть, если сравнить два процесса распада

^  +_

⁺+_. (3.47)

Если бы зарядовая симметрия имела бы место, то два процесса распада (3.47), будучи зарядово-сопряженными друг относительно друга, должны были бы иметь одинаковые пространственные характеристики. Между тем в распаде

^  +_

мюоны вылетают со спиральностью =+1/2, а в распаде

^ +_

со спиральностью =1/2!

6. В подавляющем большинстве слабых процессов, несмотря на нарушение Р и С симметрии в отдельности сохраняется РС-симметрия, т.е. симметрия относительно действия операций пространственной инверсии и зарядового сопряжения. Это можно увидеть, например, из сравнения процессов (3.47). Действительно, при одновременном действии операторов Р и С кинематические характеристики, в частности, спиральности отрицательных и положительных мюонов оказываются одинаковыми.

Выяснилось, однако, что в распаде нейтральных каонов К⁰иК⁰имеет место нарушение РС-симметрии. Это явление было открыто в 1963 году Фитчем и Турлеем (нобелевская премия 197. )

Чтобы понять, как было обнаружено нарушение РС-симметрии, проанализируем с позиций квантовой теории временную эволюцию рожденного в адронном процессе нейтрального каона. Пусть нам известно, что в момент времени t=0 имеется состояние , t=0> =K⁰> = K⁰. Последующую временную эволюцию этого состояния можно определить следующим образом

(t)>=e^iHtK⁰>, (3.48)

где Н – гамильтониан.

Уточним, какие явления будут происходить при эволюции каона. Стандартная модель предсказывает, что должен существовать переход

К⁰К⁰. (3.49)

Действительно, должен иметь место процесс:

(3.50)

в результате которого и происходит преобразование (3.49). Об этом же свидетельствует и эксперимент, поскольку известно, что и К⁰, иК⁰распадаются по одному и тому же каналу⁺^. В силу этого возможна цепочка преобразований:

К⁰⁺^К⁰ (3.51)

Взаимодействие, вызывающее переход К⁰К⁰является очень слабым, но поскольку состояния К⁰иК⁰имеют одну и ту же массу (частицы и античастица!), его влияние на распад каона может быть очень сильным. Чтобы выявить возникающие эффекты, будем считать, что гамильтониан Н имеет вид

H = H₀ + V

где V – взаимодействие (очень слабое), обеспечивающее переход К⁰К⁰, а Н₀– гамильтониан свободных К⁰иК⁰частиц.

Собственные функции K_1,2> гамильтониана Н в этой ситуации легко находятся – задача эквивалентна решению квантовомеханического секулярного уравнения для двух вырожденных уровней, т.е. диагонализации матрицы:

(3.52)

Результат решения секулярного уравнения или диагонализации матрицы (3.52) следующий:

HK_1,2>=M_1,2K_1,2>, (3.53)

где

K₁> = 1/2(K⁰K⁰),

K₂> = 1/2(K⁰ +K⁰). (3.54)

Зная собственные функции К_1,2, легко определить временную эволюцию состояния К⁰:

(t)> = e^iHtK⁰> = 1/2e^iHt(K₁ + K₂)

=. (3.55)

До сих пор мы не учитывали возможность распада К_1,2состояния. Если ее учесть, то

(t)> = , (3.56)

где _1,2– ширины (вероятности) распадов частиц К_1,2. Эти частицы, в отличие от К₀,К⁰, обладают определенной РС-четностью:

РС К₁ = +K₁,

РС К₂ =K₂. (3.57)

Проверим это для К₁-частицы:

PC K₁ = 1/2PC (K⁰ K⁰)

= 1/2 P (K⁰  K⁰)

= 1/2(K⁰ + K⁰)

= K₁. (3.58)

Предположим далее, что имеет место РС-симметрия. Тогда РС- четность должна сохраняться, и частица К₁может распадаться только в РС-четную систему, а К₂– в нечетную.

Выясним, какие правила отбора возникают при этом для пионных распадов К_1,2. Система из двух пионов⁺^всегда обладает положительной РС-четностью:

PC⁺^> = P ()^l⁺^> = ()^2l⁺^> = ⁺^>. (3.59)

Поэтому при РС-симметрии на два пиона может распадаться только К₁частица!

Напротив, трехпионное состояние, в зависимости от относительных орбитальных моментов, может иметь как положительную, так и отрицательную РС-четность. Следовательно, при РС-симметрии схемы пионных распадов должны быть следующими:

К₁2, 3, ...

К₂3, ... (3.60)

С другой стороны, мы знаем, что вероятность слабых процессов очень сильно (⁵) зависит от выделяющейся при распаде энергии. Отсюда следует, что вероятность₁распада К₁-частицы должна быть намного больше вероятности₂распада К₂-частицы. Реально времена жизни_1,2частиц К_1,2оказываются равными:

₁= 0.8910^10c,

₂= 5.1710^8c. (3.61)

Таким образом, последовательность событий при распаде пучка нейтральных каонов К⁰в случае РС-симметрии должна быть следующей (рис3.4): сначала интенсивно распадаются К₁-частицы и будут видны в основном двухпионные распады; спустя время t>>₁, когда К₁-компонента пучка нейтральных каонов вымрет, будут наблюдаться только трехпионные распады К₂-частицы.

В эксперименте Фитча и Турлея было доказано, что спустя t=19₁в пучке нейтральных каонов с относительной вероятностью

_(3.62)

происходят двухпионные распады. Это однозначно свидетельствовало о том, что в распадах нейтральных каонов нарушается РС-симметрия.

Впоследствии эти результаты были уточнены, а нарушение РС-симметрии было обнаружено в каналах распада

К₂^ + е⁺ +,

К₂⁺+е^+. (3.63)

Именно, отношение

(3.64)

оказалось равным 2.510^3. При сохранении РС-симметрии это отношение должно обращаться в нуль.

7.Формирование состояний К_1,2связано с интересным физическим явлением – “биениями” в вероятности найтиК⁰в пучке распространяющихся каонов. Чтобы увидеть это, выразим состояние (3.56) через состояния К⁰,К⁰. Используя (3.54), легко получаем, что

K⁰(t)> = 1/2{( e^{i(M1i1/2)t} + e^{i(M2i2/2)t}) K⁰ ( e^{i(M1i1/2)t} + e^{i(M2i2/2)t})K⁰}. (3.65)

Отсюда следует, что вероятность W_Kнайти в пучке нейтральных каонов антикаонК⁰

(3.66)

где

 = (₁+₂)/2, М_1,2–массы К_1,2.

Оказывается, что осцилляции этой вероятности можно измерить на опыте. В результате можно наити величинуm=m₁m₂, которая оказалась равной

m = (3.490.009)10^6эв. (3.67)

Разность масс каона и антикаона не может существенно превышать эту величину. Следовательно, равенство масс частицы и античастицы подтверждается на опыте с точностью 10^6/510⁸=0.210^15! Это – одна из наиболее точно измеренных величин в физике.

8. До сих пор нарушение РС-симметрии наблюдалось только в распаде нейтральных каонов. В рамках стандартной модели нарушение РС-симметрии вводится “руками” через матрицы смешивания СКМ: несохранение РС-четности вызывается тем, что некоторые элементы этой матрицы считаются комплексными. Подчеркнем, что при двух поколениях кварков матрицы СКМ должна быть действительна и нарушения РС-симметрии быть не может. И только для трех поколений имеется возможность (только возможность!) того, что некоторые элементы этой матрицы (например, V_ubи V_td) будут комплексными. Поэтому поиски других случаев нарушение РС-симметрии являются очень актуальными – новые результаты должны показать, правильно ли мы понимаем механизм возникновения нарушения РС-симметрии в стандартной модели.

Стандартная модель предсказывает, в каких случаях эффекты РС-симметрии будут максимальными. Оказывается, что наиболее перспективным в этом отношении являются распады нейтральных В-мезонов, и в настоящее время В-мезонная физика развивается в целое направление в физике частиц.

Простейшим сигналом несохранения РС-симметрии в распадах В-мезонов может служить различие в вероятностях распада частицы и античастицы, например,

В⁺K⁺⁺^

В^К^^⁺. (3.68)

9. Явление “биений”, т.е. переходов частицы в античастицу, аналогичных переходам К⁰К⁰экспериментально обнаружено и для нейтральных В⁰,В⁰-частиц. Квантово-механический аппарат трактовки связанных с этим биений, почти тождественен каонному. Поэтому мы приведем только значение разности масс В⁰_1,2-мезонов – частоты биений:

m(B)_1,2 = (0.4740.031)1012(hc)^1= (3.69)

10. Мы видели, что в слабом взаимодействии с заряженными бозонами участвуют не кварки d, s, b, а их линейные комбинации d, s, b:

w w w

u  d, c  s, t  b.

Возникает естественный вопрос, является ли это особенностью кварков, или это свойство присуще также и другим частицам, входящим вместе с кварками в одно поколение, т.е. лептонам _e,_,_? Рассмотрим следствия гипотезы о том, что во взаимодействии с W-бозоном в действительности участвуют не “настоящие” нейтрино, т.е. собственные состояния₁,₂,₃гамильтониана Н с массами m₁, m₂, m₃, а “фиктивные “ нетрино, т.е. суперпозиции_e,_,_, которые мы и называем нейтрино. Для простоты ограничимся случаем двух нейтрино_e,_и положим

_e = cos ₁ + sin ₂

_=sin₁+ cos₂, (3.70)

где обычно называется углом смешивания нейтрино. Наиболее важным следствием (3.70) являются осцилляции нейтрино. Формальный аппарат анализа этих осцилляций тождественен аппарату, используемому в физике нейтральных каонов. Если в момент времени t=0 возникает состояние_e>_e, то в момент t оно должно иметь вид:

_e(t)>  _e(t) = e^iHt_e, (3.71)

где Н – гамильтониан, собственными состояниями которого являются состояния _1,2>:

H_1,2> =_1,2_1,2>. (3.73)

Подставив в (3.71) соотношение (3.70), найдем, что

_e(t) =(3.74)

Выразив далее _1,2через_e,_:

₁ = cos _e  sin _

₂ = sin _e + cos _ (3.75)

и подставив (3.75) в (3.74), найдем, что

_e(t) = { cos² + sin²}_e

+ { cossin + cossin}_. (3.76)

Из (3.76) следует, что вероятность в момент t найти_в пучке, который при t=0 целиком состоял из_е, равняется

(t) = sin²2  sin²((/2)t). (3.77)

Поскольку

 = ₁₂=m₁²+p²m₂²+p²(m₁²-m₂²)/2p=m² /2p, (p>>m_1,2), (3.78)

то (3.78) переписывается в виде:

(t) = sin²2  sin²(m²t/2p). (3.79)

11. Эксперементальные попытки обнаружить осцилляции нейтрино в экспериментах на реакторах и ускорителях закончились неопределенными результатами.Отсюда следует, что если имеет место смешивание нейтрино, то оно должно быть очень небольшим.

Между тем, попрежнему “висела”проблема солнечных нейтрино – Cолнце несомненно светит за счет ядерных реакций и, следовательно, должно испускать мощный поток нейтрино. Между тем, неоднократные измерения потока солнечных нейтрино приводило к их определенному, примерно двух-трехкратному дефициту- вместо ожидаемого потока= 5.15*10⁶/см²сек“борных”нейтрино c максимальной энергией 14 МэВ (“стандартная модель Солнца“) на опыте поток получался равным = 2.44*10⁶/см²сек .

Возможное (и изящное) решение проблемысолнечных нейтрино было найдено Смирновым А.В. и Михеевым в 1985 году. Оказывается, что толща Солнца может действовать как чрезвычайно эффективный усилитель нейтринных осцилляций, приводя к почти полному превращению электронных нейтрино, например в мюонные. Мюонные же нейтрино не могут вызывать реакции типа:

³⁷Cl(,e)³⁷Ar,

по которым и пытались детектировать электронные нейтрино.

Рассмотрим основные моменты концепции Смирнова и Михеева. Как известно, любая частица, попадая в среду с которой она взаимодействует теряет свою вакуумную идентичность и превращается в некоторую эффективную степень свободы - квазичастицу, представляющую собой сложную квантово-механическую суперпозицию вакуумной частицы и эффектов поляризации среды. Свойства этой квазичастицы, разумеется, могут существенно отличатся от свойств частицы в вакууме. Например, фотоны в среде двигаются уже не со скоростью света;электроны в металле приобретают отличную от вакуумной массу;нуклоны в ядрах также становятся квазичастицами и т.д. Точно также и нейтрино, попадая в среду становится эффективной степенью свободы - квазичастицой, масса которой, вообще говоря, отлична от ее вакуумного значения. Напомним, что мы уже обсуждали происхождение (изменение) массы частицы за счет отталкивания от хиггсовского и кирального конденсатов. Убедимся, что в концептуальном плане среда не отличается от вакуума. Введем взаимодействие (“потенциал”)V(r) нейтрино с электронами среды. Из-за очень малого радиуса этого взаимодействия(10^-16см!)он будет сильно флюктуировать. Поэтому для понимания влияния средынеобходимо работать с взаимодействием, усредненным по физически малому объемуV(как в макроскопической электродинамике!). Это усредненное взаимодействиеV == Поэтому отталкивание или прияжение среды приведет к увеличению либо к уменьшению массы нейтрино. Мерой изменения массыm является амплитуда рассеяния вперед, т.е. на нулевой угол, на конституэнтах среды, точнее на электронах в единице объема среды:

m  Fn_e , ( )

где F –амплмитуда рассеяния, n_e –плотность электронов. При положительной амплитуде масса увеличивается , при отрицательной – уменьшается.

Амплитуды рассеяния электронного нейтрино и мюоного должны отличатся. Действительно,амлитуда рассеяния _e дается двумя диаграммами:

a амплитуда рассеяния _одной:

Соответственно, амплитуда рассеяния электронного нейтрино больше амплитуды мюонного. Поэтому приращение массы у электронного нейтрино будет больше, чем у мюонного и эффективная масса _e может в конечном счете оказатся больше массы _.

Теперь мы можем пояснить концепцию Смирнова – Михеева. Пусть в вакууме . Это представляется вполне естественным, так как массы частиц увеличиваются при переходе от одного поколения частиц к более выскому. Пусть, далее, эффективная масса  в центре Солнца. При распространении нейтрино от центра к периферии плотность электронов уменьшается и массы электронного и мюонного нейтрино будут сближаться.