§5. Дискретные симметрии квантовой электродинамики

1. При построении стандартной модели важную роль сыграло исследование дискретных симметрий в субъядерном мире. Под дискретными симметриями обычно понимают симметрию относительно инверсии пространства , относительно зарядового сопряжения(т.е. превращения частиц в античастицы) и относительно обращения движения ("времени"). Рассмотрим сначала Р-симметрию ("сохране­ние четности"). Прежде всего, определим Р-операцию, которая меняет векторы состояния при инверсии пространства

x  x = –x. (2.135)

Под действием оператора любое одночастичное состояние типаpm>, где p - импульс, m - проекция спина на ось квантования, должно превращаться в некоторое другое состояние pm>:

pm>=pm>. (2.135)

Закон преобразования (2.135) можно уточнить, рассмотрев его для волновых функций в координатном представлении. В этом случае при инверсии поле (r) преобразуется следующим образом:

(r) = (r) = (r). (2.136)

Это преобразование соответствует перенесению "содержимого" точки r в точку r=–r. Выбрав в качестве (r) плоскую волну, найдем, что

e^{i pr}=e^{–i pr}.

Таким образом, в (2.135) справа должно получиться состояние с противоположным импульсом. На этом, однако, конкретизация преобразованного вектора состояния pm> из (2.135) не заканчивается. Следующим объектом преобразования является спин. Что с ним происходит при инверсии? Естественно считать, что закон преобразования спина при инверсии совпадает с законом преобразования момента количества движения, в частности, орбитального момента. Но орбитальный момент L=[rp] не меняется при инверсии:

L=[rp]  [(–r)(–p)] = [rp] = L.(2.137)

Поэтому должно быть

pm>=–pm>. (2.135а)

Наконец, последним вопросом, конкретизирующим (2.135), является вопрос о том, что происходит с "внутренним устройством " частицы при инверсии. Если рассматриваемая частица является составной и ее конституенты не изменяют своей природы при инверсии, то в (2.135а) возникает дополнительный множитель, называемый обычно четностью или внутренней четностью _p, которая равняется

_p = (–)^l1+l2+..., (2.138)

где l₁, l₂, ... - орбитальные моменты конституентов.

Таким образом, в этом случае

pm> = _p –pm>.(2.139)

Формула (2.139) остается справедливой и в том случае, когда частица

является точечным бесструктурным объектом.

Внутренняя четность в рамках стандартной модели определяется законом преобразования при инверсии соответствующего ей поля. Например, все носители взаимодействия являются квантами векторных полей и обладают отрицательной внутренней четностью. Кваркам и лептонам обычно приписывают положительную четность, но в этом случае антикварки должны обладать отрицательной четностью. Подчеркнем, однако, что закон преобразования спинорных полей таков, что только произведение внутренних четностей частицы и античастицы имеет определенное значение (-1). Например для кварков

_p(q) _p(q) = –1. (2.140)

2. Теперь мы можем сформулировать закон сохранения четности. Пусть происходит преоброзование состояния i> в конечное f>. В квантовой теории это преобразование характеризуется амплитудой вероятности перехода:

. (2.141)

"Сохранение четности" означает, что наряду с (2.141) имеет место преобразование

(2.142)

с амплитудой перехода

M_fpip = M_fi.(2.143)

На операторном уровне это означает, что

^–1=, (2.143а)

где - оператор амплитуды.

Здесь i_p> и f_p> получаются из i>, f> действием оператора (2.139).

В терминах гамильтониана сохранение четности означает:

=

^–1=. (2.144)

Поучительно выяснить, что подразумевает закон сохранения четности в случае, когда начальное состояние является собственной функцией :

i> = _p(i)i>. (2.145)

В этой ситуации из (2.135а) следует, что конечное состояние f> также должно быть собственной функцией с тем же собственным значением_p(i):

f> = _p(i)f>. (2.145а)

3. Квантовая электродинамика организована таким образом, что она оказывается симметричной относительно преобразования инверсии. На уровне "здравого смысла" это можно увидеть, например, из структуры взаимодействия КЭД. Действительно, взаимодействие зарядов и электромагнитного поля H_int записывается в квассической и квантовой электродинамике следующим образом:

H_int = j^(t,x)A_(t,x)d³x. (2.146)

При инверсии H_int преобразуется в H_int:

H_int = j^(t,x)A_(t,x)d³x.(2.147)

где j^ и A^ получаются из j^ и A^ обычным законом преобразования векторов:

A^ = (A₀(x), A(x)) = (A₀(–x),–A(–x)),

j^ = (j₀(x), j(x)) = (j₀(–x),–j(–x)). (2.148)

Из закона преобразования (2.148) видно, что

j^(t,x)A_(t,x)d³x=j^(t,–x)A_(t,–x)d³x =j^(t,x)A_(t,x)d³x. (2.149)

или что

H_int = H_int. (2.149а)

Отсюда можно сделать вывод о том, что при инверсии гамильтониан не изменяется. Сохранение четности в КЭД подтверждается всем опытом атомной и ядерной физики: то, что уровням атома или ядра приписывается определенная четность и есть проявление закона сохранения четности. В более широком аспекте сохранение четности будет рассмотрено в следующей главе.

4. Операция зарядового сопряжения в терминах одночастичных состояний определяется следующим образом:

pm> = pm>_c, (2.150)

где c означает, что речь идет об античастице. Отметим, что зарядовое сопряжение не меняет кинематических характеристик частиц. Инвариантность теории относительно зарядового сопряжения означает,

аналогично (2.143) что

M_fcic = M_fi. (2.151)

Это, как и в случае четности, значит, что если есть процесс

(2.152а)

с амплитудой M_fi, то существует зарядовосопряженный процесс

(2.152б)

амплитуда которого M_fcic равняется амплитуде M_fi. Состояния i_c>, f_c> получаются из i_c>, f_c> действием оператора из (2.150), т.е. преобразованием частиц в античастицы без изменения их кинематических характеристик.

Квантовая электродинамика устроена зарядово-симметричным образом. Не вдаваясь в детали попробуем увидеть это на примере преобразования взаимодействия в КЭД.

При зарядовом сопряжении почти очевидно, что ток j^ меняет знак:

j^ j^ = –j^. (2.153)

Действительно, поскольку операция состоит в изменении знака заряда без изменения кинематики, то ток должен обладать свойством (2.153). С другой стороны, электромагнитный потенциал при зарядовом сопряжении тоже должен изменить знак:

A^ A^ = –A^.(2.154)

Это можно предвидеть, опираясь на то, что при изменении знака зарядов электромагнитное поле должно изменять знак. В результате получим, что при зарядовом сопряжении

H_int = j^A_d³x H_int = j^A_d³x = j^A_d³x = H_int, (2.155)

т.е. что взаимодействие остается инвариантным.

5. Специального обсуждения требует случай нейтральных систем, например фундаментального фотона или электронно-позитронной пары. В этом случае зарядовое сопряжение переводит систему саму в себя и возникает понятие зарядовой четности. Пусть состояние системы задается вектором состояния >. Тогда в квантовой теории переход системы "самой в себя" означает:

> = _c>, (2.156)

где _c - неопределенный фазовый множитель.

Двукратное применение операции возвращает систему в исходное состояние. Отсюда следует, что

_c² = 1, _c = 1. (2.156)

Поскольку векторный потенциал A^, входящий в квантовую теорию "от имени фотона", меняет знак при зарядовом сопряжении, то легко принять, что зарядовая четность фотона является отрицательной:

_c() = –1. (2.157)

Система электрон-позитрон в состояниях с определенными орбитальным моментом l и спином S (т.е. позитронии P_s) обладает зарядовой четностью

_c(P_s) = (–)^l+S. (2.158)

Чтобы убедиться в этом, введем дополнительно к пространственной r и спиновой  переменным зарядовые переменные с, в терминах которых определяется, является ли частица электроном или позитроном. Тогда волновая функция (r;₁,₂;c₁,c₂) будет зависить от большего числа переменных, а обобщенный принцип Паули будет иметь вид:

(r;₁,₂;c₁,c₂) = –(–r;₂,₁;c₂,c₁). (2.159)

Операция зарядового сопряжения на эту функцию будет действовать следующим образом:

(r;₁,₂;c₁,c₂) = (r;₁,₂;c₂,c₁). (1.160)

Далее, если система находится в состоянии с определенными l и S, то перестановка пространственных и спиновых координат электрона и позитрона должна приводить к следующему соотношению:

(r;₁,₂;c₁,c₂) = (–)^l+S+1(–r;₂,₁;c₁,c₂). (2.161)

Использую (2.159-161) легко получаем, что

(r;₁,₂;c₁,c₂) = (–)^l+S(r;₁,₂;c₁,c₂), (2.162)

т.е. что _c(P_s) дается формулой (2.158).

Теперь мы можем пояснить два важных утверждения, сделанных в параграфах 3 и 4. Первым из них было то, что парапозитроний распадается на два фотона, а орто- - на три. Зарядовая четность парапозитрония в соответствии с (2.158) является положительной, а ортопозитрония - отрицательной. Зарядовая четность фотона равняется -1, а n фотонов

_c(ⁿ)=(–)ⁿ. (2.163)

Зарядовая симметрия КЭД означает, что зарядовые четности начальной и конечной систем должны совпадать. Отсюда и следует утверждение о двухфотонном и трехфотонном распадах пара- и ортопозитрония.

Второе утверждение относится к запрету в КЭД диаграмм типа

(2.164)

т.е. диаграмм рассеяния фотонов на внешнем поле в первом приближении по внешнему полю.

???

6. Операция обращения движения подразумевает два действия. Во-первых, преобразование состоянияpm> в обращенное по движению состояние =(–)^S–m–p–m>:

pm> = (–)^S–m–p–m>. (2.165)

Во-вторых, Т-операция предполагает замену начального состояния конечным и конечного начальным. В терминах рассматриваемых ранее переходов i>f> обратимость движения означает следующее: если есть переход , то имеется переход

(2.166)

и . Состоянияполучаются изi,f> преобразованием (2.165).

Симметрия относительно обращения движения связывает между собой прямые и обратные процессы. Квантовая электродинамика обладает свойством обратимости движения.

7. В общем случае теория не обязана быть симметричной относительно отдельных операций С, Р и Т. Как мы увидим в следующей главе, слабое взаимодействие нарушает С и Р симметрии. Однако относительно произведения всех трех операций, т.е. относительно СРТ операции, любая разумная полевая теория должна быть инвариантной. Это утверждение в литературе носит название СРТ-теоремы.

СРТ симметрия связывает между собой ряд характеристик частицы и античастицы. Именно, должно быть:

- масса частицы равняется массе античастицы:

m_a = m;(2.167а)

- магнитный момент частицы равняется магнитному моменту античастицы с противоположным знаком:

_a = –;(2.167б)

- время жизни частицы равняется времени жизни античастицы:

_a = . (2.167в)