§3. Квантово-электродинамические явления во внешнем поле.

1. Базисное для КЭД превращение фотона в электронно-позитронную пару

(2.53)

может протекать только с виртуальными электронами и позитронами. Однако присутствие еще одного, третьего, тела в конечном состоянии, с которым электроны и позитроны могут обмениваться импульсом, делает возможным реальное рождение фотоном электоронно- позитронной пары. Наиболее простой является ситуация, когда третье тело не изменяет своего состояния в процессе обмена импульсом с электроном или позитроном. В этом случае третье тело является просто источником классического неквантованного поля, которое обычно называется просто внешним полем.

В присутствие внешнего поля превращение фотона в физическую электронно-позитронную пару описывается двумя диаграммами:

(2.54)

где волнистая линия с крестом означает внешнее поле. На диаграмме слева, например, фотон рождает физический позитрон и виртуальный электрон, который в результате обмена импульсом с внешним полем превращается в физический электрон.

2. Масштабы эффективного сечения рождения пар определяются размерами площади, попадая в которую фотон кинематически имеет возможность превратиться в электрон и позитрон. Анализ кинематики показывает, что типичный импульс, который должен быть внесен внешним полем в виртуальную систему электрон-позитрон имеет порядок

q ~ m. (2.55)

Отсюда следует, что масштабы эффективного сечения _ рождения пары должны иметь порядок

_~ , (2.56)

где = Z² r₀² и r₀ как обычно, классический радиус электрона, Ze - заряд ядра, Z² - квадрат заряда ядра, который и должен входить в сечение (сечение пропорционально квадрату амплитуды).

3. Точные формулы для _ являются достаточно громоздкими. Поэтому мы их здесь приводить не будем, а ограничимся предельными случаями. В области (–2m) « m

. (2.57)

В области  » 2m

. (2.58)

Как мы видим из (2.57)-(2.58), масштаб сечения определяется величиной из (2.56).

Интересно отметить, что сечение _ при  не обращается в нуль, как это имело место для сечений комптоновского рассеяния фотона и аннигиляции. Логарифмический рост сечения _ при больших энергиях имеет место только в кулоновском поле и связан с тем, что такое поле на любых расстояниях может сообщить паре e⁺e^– импульс, достаточный для ее офизичивания. Реально, однако, электростатическое поле вне атома обращается в нуль (экранируется электронами). Поэтому в пространстве вне атома фотон уже не может превратиться в пару e⁺e^–. С учетом этого обстоятельства сечение _ дается формулой:

. (2.59)

Рассчитанная зависимость сечения _ от  представлена на рис.2.1

3. В предыдущих пунктах мы проанализировали превращение фотона в электрон-позитронную пару. Это - пороговый процесс и при энергии <2m он происходить не может. Квантовая электродинамика предсказывает еще одно, пожалуй, более необычное явление - спонтанное, т.е. не стимулированное зависящим от времени полем, рождение пары в сильном электростатическом поле. Наиболее простым выглядит рождение пар в сильном кулоновском поле. Действительно, с ростом заряда ядра энергия электронных уровней в его кулоновском поле уменьшается, и представляется очевидным, что при каком-то его значении Z_кр энергия E_1S основного уровня 1S достигнет значения

E_1S = –m = –0.511 МэВ. (2.60)

Легко видеть, что при ZZ_кр рождение электронно-позитронной пары уже не требует затраты энергии и, следовательно, может происходить спонтанно. В самом деле, энергия E, которую необходимо затратить на образование далекого от кулоновского центра позитрона и связанного 1s электрона, равняется E=m+ E_1S. При E_1S  –m эта энергия будет

E  0. (2.61)

Для количественного нахождения Z_кр необходимо определить, при каком Z энергия E_1S = –m. Конечно, при таких энергиях связи

E_св = 2m (2.62)

движение электрона становится релятивистским, и необходимо использовать релятивистское уравнение Дирака. Для точечного заряда уравнение Дирака приводит к Z_кр=137. Однако при таких энергиях связи электроны находятся очень близко от ядра, и его больше нельзя считать точечным. Учет "размазанности" ядра приводит к

Z_кр = 171172. (2.63)

Результат (2.63) был впервые получен советским физиком Колесниковым Н.Н. в 1972 году.

Хотя с позиций КЭД спонтанное рождение пар выглядит вполне естественным явлением, тем не менее необычность самой ситуации - рождение материи "из ничего" - делает настоятельным его экспериментальное подтверждение. На первый взгляд такого типа эксперименты кажутся неосуществимыми, поскольку атомные ядра с Z  Z_кр определенно не существуют. Можно воспользоваться, однако, тем, что при столкновениях тяжелых ионов, например, ядер урана ₉₂U, на какое-то время, большее времени обращения электрона по атомной орбите, образуется составная ядерная система с зарядом Z=180. За время ее существования возможно образование e⁺e^– пары. Идентификация таких пар является весьма трудной задачей. Однако в настоящее время считается, что спонтанное рождение пар в сильном кулоновском поле подтверждается экспериментом.

4.Рождение электронно-позитронных пар возможно также и в однородном электрическом поле. Действительно, представим себе, что в однородном поле с напряженностью Е на расстоянии друг от друга находятся электрон и позитрон (рис.2.2). Тогда энергия системы однородное поле плюс диполь будет меньше энергии однородного поля на величину

E=erЕ, (2.64)

где е - заряд позитрона, r –расстояние между электроном и позитроном.

Если E станет больше 2m, т.е. если

erЕ > 2m , (2.65)

то энергетически становится возможным спонтанное рождение электронно-позитронных пар. Как видно из (2.65) при достаточно больших r, т.е. при

r > 2m/(eE), (2.66)

создаются энергетические возможности рождения пары. Квантовая электродинамика, однако, есть локальная квантовая теория поля и обеспечивает реальное или виртуальное рождение пары в точке. Поэтому механизм рождения пары в однородном поле выглядит следующим образом. Электронно-позитронная пара рождается на очень малых расстояниях (в "точке") и оказывается виртуальной, поскольку энергетически рождение физической пары является невозможным. Электрон и позитрон, однако, могут стать физическими, если они разойдутся подбарьерно на расстояние r из (2.66) (см. рис.2.3 ). Вероятность проникновения через барьер дается формулой

. (2.67)

При E30 кв/см (поле пробоя в атмосфере)

w  exp(–510¹¹). (2.68)

Поэтому в обычных условиях наблюдать спонтанное рождение пар невозможно.

5. Хорошо известно, что заряд, движущийся с ускорением, излучает фотоны. В квантовой электродинамике тормозному излучению электроном фотонов соответствуют диаграммы:

(2.69)

Физический смысл, например, первой диаграммы следующий: начальный электрон испускает фотон и превращается в виртуальный. Обменявшись, далее, с источником внешнего поля импульсом, виртуальный электрон становится физическим. Эффективное сечение тормозного излучения определяется двумя факторами. Во-первых, масштаб сечения задается размером области пространства, в котором внешнее поле кинематически сможет превратить виртуальный электрон в реальный. Как и в случае рождения пар, масштаб сечения задается величиной =Z²r₀².

Во-вторых, поскольку виртуальному электрону отвечает пропагатор, в знаменателе которого имеется фактор (p+k)²–m²=2pk, где p,k - импульсы начального электрона и испущенного фотона, то сечение должно стать очень большим при 0. Точная формула для сечения имеет вид

, (2.70)

где ,  - начальная и конечная энергии электрона,  - частота испущенного фотона и f(Z) - некоторая численная функция.

На рис.2.4 представлены типичные кривые тормозного спектра

фотонов.