Тогда, подставляя (1.6) в (1.5), находим, что

или

. (1.7)

Отсюда следует, что энергия частицы, описываемой уравнением (1.5), может принимать как положительные, так и отрицательные значения.

Аналогичным свойством обладает уравнение Дирака для свободной частицы со спином ½:

, (1.8 )

где

ψ = (1.9)

–четырехкомпонентная дираковская волновая функция,

= , ,

- (1.10)

набор дираковских матриц

, (1.11)

- (1.12)

матрицы Паули.

Подставив в (1.8) “дираковскую” плоскую волну

Ψ = uе^-ipx =ueⁱ,

где u -четырехстрочный столбец, элементы которого зависят от импульса, из условия разрешимости уравнения Дирака относительно uнайдем, что как и в случае уравнения (1.5 ), энергияEсвязана с импульсомсоотношением:

1. E= .

Существование отрицательных энергий при любом импульсе является трудностью релятивистского одночастичного квантового уравнения. Если допустить физическое существование отрицательных энергий, то частицы не будут обладать основным состоянием, и такая квантовая теория является неудовлетворительной. В свое время Дирак для преодоления этой трудности ввел концепцию заполненности всех состояний с отрицательной энергией. Однако такое решение проблемы отрицательных энергий имеет хоть какой- то смысл только для частиц со спином ½, для которых имеет место принцип Паули. Для частиц с целым спином заполнить все состояния с отрицательными энергиями невозможно.

Современная физика ( квантовая теория поля) рассматривает появление отрицательных энергий как сигнал о том, что наряду с частицами могут существовать и античастицы. Логика античастичных степеней свободы – следующая. В теории поля рассмотренные выше релятивизованные уравнения Шредингера рассматриваются не как квантовые уравнения, а как уравнения классического поля, при квантовании которого как элементарные возбуждения (кванты) этого поля должны появится те или иные частицы. Отрицательные энергии предполагают увеличения числа степеней свободы поля. Действительно, у релятивистского уравнения имеется два типа плоских волн

,,

где индекс указывает положительную или отрицательную частоты плоских волн.

Соответственно, произвольное решение волнового уравнения может быть разложено по двум типам плоских волн:

  {+},

где коэффициенты и- амплитуды плоских волн. При переходе к квантовой теории

эти амплитуды становятся операторами поглощения и испускания квантов (частиц) поля. Если поле является действительным, то =,то отрицательно частотная часть поля описывает просто испускание частиц и античастицы отсутствуют. Такая ситуация имеет место в случае электромагнитного поля. Если же исходное поле комплексное, то

#,

и квантованное поле обладает еще одной степенью свободы, которая должна быть истолкована как еще одна частица с зарядами, по знаку противоположными знакам зарядов частицы, т. е. как античастица. Таким образом, комплексное поле приводит к существованию античастиц, действительное – нет. Остается только решить “небольшой” вопрос о том, какие объекты следует описывать комплексными полями,и какие -- действительными. В частности, вполне серьезным остается вопрос о том, следует ли считать нейтринное поле комплексным или действительным. В последнем случае нейтрино называется майорановским.

6. Завершая “лептонный ” раздел, рассмотрим коротко вопрос о стабильности лептонов. Тяжелые заряженные лептоны – иявляются нестабильными. Они распадаются на менее массивные частицы:

_+ е +_е

  _++_(1.13)

_+ е +_е

.........

где многоточием отмечены другие способы – “каналы” – распада (см.Гл.III). Времена жизни_,_мюона и таона равняются

_=2.1910^–6с, (1.14)

_=3.0410^–13с.

В стандартной модели нейтрино должны быть, так же, как и электроны, стабильными. Это обусловлено тем, что отсутствуют более легкие лептоны, на которые они могли бы распасться. Наконец, отметим, что нестабильность лептонов обусловлена, разумеется, слабым взаимодействием( см. гл.III).

7. Следующий класс фундаментальных фермионов, т.е. частиц с полуцелым спином, в данном случае со спином J=1/2, образуют шесть кварков, которые обычно представляют в виде трех кварковых дублетов:

q=. (1.15)

Эти дублеты составляют три кварковых поколения, и вместе с лептонами их объединяют в три поколения фундаментальных фермионов:

. (1.16)

Так же, как и лептоны, кварки обладают обычными характеристиками – спином, зарядом, массой, магнитным моментом, временем жизни.

Заряды кварков – дробные, кратные 1/3 протонного заряда. При этом верхние компоненты дублетов (1.15), т.е. кварки u, c, t обладают зарядом

q_u,c,t = ²/₃ e; (1.17)

нижние компоненты – d, s, b – имеют заряд

q_d,s,b = –¹/₃ e. (1.18)

Такие непривычные значения зарядов на первых этапах создания КХД мешали поверить в реальное существование кварков.

Ситуация с остальными квантовыми характеристиками является более сложной, чем в случае лептонов. Дело в том, что, во-первых, кварки не существуют в свободном состоянии, а спрятаны в кварковых системах (“мешках”) – адронах (см.§4). В этом случае нельзя освободиться от влияния находящихся в том же объеме других кварков и глюонов. Во-вторых, даже если бы кварки могли существовать в изолированном виде, влияние квантовой среды – вакуума – могло бы сильно изменить их. Все это приводит к тому, что обычно говорят о двух типов кварков - токовых и конституэнтных. Токовые кварки - это кварки, закладываемые в теорию. Конституэнтные - это “реальные” (эффективные) кварки в адронах, движение и взаимодействие которых и формирует адроны. Конституэнтные кварки являются эффективными степенями свободы, концептуально напоминающие квазиэлектроны в твердом теле.

По массам кварки разделяются на легкие – u, d, s и тяжелые – c, b, t. Токовые массы легких кварков по косвенным данным имеют следующие значения:

m_u4 Мэв, m_d7.5 Мэв, m_s150 Мэв. (1.19)

Конституэнтные массы этих же кварков оказываются равными:

m_um_d336 Мэв, m_s500 Мэв. (1.20)

Массы токовых и конституэнтных тяжелых кварков, т.е. c, b, t кварков, близки друг к другу и находятся в интервалах:

m_c = 1.15-1.35 Гэв. ;m_b= 4.0-4.4 Гэв .;m_t= 174.3Гэв. (1.21)

Магнитные моменты токовых и конституэнтных кварков в первом приближении считаются равными соответствующим боровским магнетонам. Это значит, что, например, токовый и конституэнтный u-кварки имеют магнитные моменты:

(1.22)

где индексом “с” отмечен конституэнтный кварк. Хотя по внешнему виду эти формулы идентичны, тем не менее магнитные моменты токовых и конституэнтных легких кварков отличаются в

(1.23)

Как и тяжелые лептоны и, все кварки тяжелееuдолжны быть нестабильными – слабое взаимодействие (см. следующий пункт и гл. III) должно превращать их в кварки с меньшей массой. Однако в силу отмеченной выше роли взаимодействия реально ситуация является более сложной. У кварковых систем-адронов, состоящих из ud -кварков, из-за малой разности m_d–m_u3.5 Мэв ( эта разность является малой величиной по сравнению с характерными массами адронов, см. §3) стабильность определяется соотношением полных масс адронов (также как и в случае атомного ядра). Например, с небольшой вероятностью протекают распады:

(1.24)

В первом распаде происходит “нелогичное” превращение ud, а во втором du. В то же время можно было бы ожидать, что открыт канал только с превращением более тяжелого кварка d в u.

Для адронов с более тяжелыми кварками s, c, b ситуация становится более простой: распад соответствующего адрона обусловлен именно распадом тяжелого кварка. Это связано с тем, что разность масс кварков становится столь большой, что она уже не может быть преодолена разностью масс систем в целом. Например, лептонный распад положительного каона K⁺=(u,s ) обусловлен именно распадом кварка s.

Нетривиальные квантовые числа кварков являются гораздо более разнообразными, чем у лептонов. Лептонам стандартная модель приписывает три лептонных заряда L_e, L_, L_. Аналогичной величиной у кварков- но одной и той же у всех кварков - является барионный заряд, равный 1/3 у кварков и –1/3 у антикварков.

Следующим аддитивным квантовым числом кварков является квантовое число “аромат”. Каждый из шести кварков обладает своим ароматом, который совпадает с названием кварков – u, d, s, c, b, t. Ароматы s, c, b, t задаются специальными числами, называемыми странностью (s), шармом (с), боттомом (b) и топом (t). У кварков s,c,b,tэти квантовые числа равняются:

s = –1, c = +1, b = –1, t =+1, (1.25)

у антикварков соответственно

s =+1, c = –1, b =+1, t = –1. (1.25а)

Для идентификации “ароматных” свойств легчайших кварков u и d используется квантовое число Iизотопический спин, являющееся более сложным понятием, чем странность. Изотопический спин I есть характеристика нетривиальной симметрии КХД – изотопической симметрии. Изотопический спин по своим формальным свойствам тождественен обычному моменту количества движения J. В нашем случае это значит, что u- и d-кваркам приписывается изоспин I=1/2 с проекцией I₃на ось квантования в формальномизоспиновомпространстве, равной I₃=1/2:

u I=1/2, I₃=+1/2,

d  I=1, I₃=–1/2. ( 1.26 )

Более подробно об изотопической инвариантности см. §4 и Гл.V.

Еще одним и, пожалуй, важнейшим, квантовым числом кварков является цвет. Цвет кварков – это внутренняя степень свободы каждого из шести кварков, принимающая три значения. Хотя иногда вводят в буквальном смысле три цвета – красный, желтый, зеленый, мы эти цвета будем нумеровать как 1, 2, 3. Существование цвета означает, что фундаментальных фермионов имеется не шесть (u, d, s, c, b, t), а восемнадцать - кварки каждого аромата утраиваются:

uu_1,2,3и т.д. ( 1.27 )

В заключение приведем таблицу 1.2 с квантовыми характеристиками кварков. Цветные степени свободы не указаны; античастицы – антикварки – подразумеваются. Все аддитивные квантовые числа у антикварков меняют знак.

Таблица 1.2

кварк	J	Q	m, Мэв	B	I, I3	s, c, b, t
u	½	2/3	4(366)	1/3	½, ½	0
d	½	–1/3	7.5(366)	1/3	½,–1/2	0
c	½	2/3	1.3103	1/3	0	0 1 0 0
s	½	–1/3	150(500)	1/3	0	–1 0 0 0
t	½	2/3	170103	1/3	0	0 0 0 1
b	½	–1/3	4.7103	1/3	0	0 0–1 0

8. Последним классом фундаментальных частиц являются носители взаимодействия между фермионами. Иногда их называют калибровочными бозонами. Имеется три типа таких калибровочных бозонов – глюоны (g_a), фотонγи W^, Z⁰-бозоны. В таблице 1.3 приведены их характеристики.

Таблица 1.3

частица	J	m, Мэв	Q
ga	1	0	0
	1	0	0
W	1	81.0	1
Z0	1	92.4	0

Мы видим, что все носители взаимодействия имеют спин J=1 и являются, как говорят, векторными частицами (кванты векторных полей).

Далее, все эти частицы не обладают лептонным и барионным зарядами, а также ароматами и изотопическим спином. Глюоны, однако, обладают цветом. Цветная степень свободы глюона принимает восемь значений. Соответственно, имеется восемь глюонов и индекс “а” у g_aтакже пробегает восемь значений:

а=1, 2, ...8. (1.28)

Отметим, что неожиданными оказываются огромные массы W, Z-бозонов – они равняются массам средних атомных ядер! Заметим также, что W^-бозоны (соответственно и W⁺) обладают магнитным моментом:

_W=e/m_W . (1.29)

9. В заключение раздела о фундаментальных степенях свободы рассмотрим коротко вопрос о хиггсовском бозоне, который играет очень важную роль в стандартной модели.

Разнообразие масс фундаментальных фермионов и бозонов (см. Таблицы 1–3) невольно заставляет думать об их производном, а не фундаментальном характере. В стандартной модели эта концепция реализуется определенным механизмом генерирования масс у первоначально безмассовых фундаментальных частиц. Генерация осуществляется с помощью особого типа фазового перехода, совершающегося в вакууме. Этот фазовый переход вызывается скалярным полем , самодействие которого таково, что пространство, заполненное им, имеет энергию меньше, чем пустое пространство. Полеφназывается хиггсовским полем. Возникает замечательная ситуация: “ничто”- пустое пространство- неустойчиво относительно генерирования хиггсовского поля ( Рис.1.1 ). Заполняющее все пространство поле₀-хиггсовский “конденсат” эффективно отталкивает все частицы, которые с ним связаны, что приводит к появлению у них масс.

Удостоверимся в этом сначала на примере нерелятивистского уравнения Шредингера для свободной частицы, которое мы запишем без пренебрежения массой:

Ĥ₀Ψ =Е Ψ = (p²/2m+m) Ψ (1.30)

Введем в гамильтониан Ĥ₀постоянное во всем пространстве отталкивательное взаимодействиеV=const> 0:

.( 1.31 )

Сравнивая (1.31) и ( 1.30), мы видим, что введение такого взаимодействия в первом по V приближении эквивалентно появлению у частицы массыM=m+V.

То же самое можно увидеть и на примере уже релятивистского уравнения Дирака. Введем в него скалярное (по отношению к преобазованиям Лоренца) отталкивательное взаимодействие V› 0. Способ введение такого взаимодействия является, однако, не совсем тривиальной процедурой. Действительно, например, кулоновское взаимодействиеV_c( как мы знаем из квантовой теории), вводится в уравнение Дирака как γ⁰V_с,т.е. как нулевая компонента четыре - вектора. Инвариантное относительно преобразований Лоренца взаимодействиеVдолжно вводиться аналогично массе, являющейся релятивистским инвариантом. Поэтому уравнение Дирака с глобальным отталкиваниемVбудет иметь вид:

= 0 . (1.32)

Мы видим,таким образом , что при введении такого отталкивания масса частицы становится также равной М = m+V.

Схематически механизм генерирования массы у первоначально практически безмассовых частиц изображен на рис.1.2.

Рис. 1.2 Схематическое изображение механизма происхождения масс. Слева - энергия безконденсатного основного состояния; справа - ситуация ,возникающая при образовании конденсата .Заштрихованная область энергий из-за отталкивания частицы от конденсата является для нее недоступной .Это соответвует появлению у частицы массы.

На этом рисунке уровень Е=0 – суть уровень в пустом пространстве; уровень Е=–Е(₀) – энергетическое положение нового вакуума, возникающего при самопоявлении хиггсовского поля₀. Заштрихованный кружок – частица. Уход истинного вакуума вниз по энергии и отталкивательное взаимодействие f₀частицы с полем₀не позволяет ей последовать за вакуумом. Это и означает, что у частицы появляется дополнительная масса, которая пропорциональна₀: m=f₀, где f – параметр, характеризующий степень связи частицы с полем₀.

Флуктуации хиггсовского поля относительно равновесного его значения ₀в квантовой теории должны быть истолкованы как возбуждения частиц – хиггсовских бозонов со спином J=0 ( поле Хиггса - скалярное!).

Существование хиггсовского механизма генерации масс у фундаментальных частиц неизбежно предполагает существование хиггсовского бозона. Поэтому одной из важнейших задач фундаментальной микрофизики являются поиски хиггсовского бозона и, тем самым, доказательство правильности современного понимания механизма генерации массы. Предварительные сообщения об открытии этого бозона уже появились в научных журналах.

§2.Взаимодействие фундаментальных степеней свободы.

Идентификация фундаментальных степеней свободы является, конечно, важнейшим этапом в становлении СМ. Вторым кардинальным этапом является установление вида их взаимодействия.

В нерелятивистскую квантовую теорию входят свободные частицы и их взаимодействие, которое задается потенциалом V – двухчастичным, трехчастичным и т.д. Гамильтониан Ĥ системы взаимодействующих частиц дается обычной формулой:

, (1.32)

где H₀–гамильтониан свободных частиц. ПотенциалVиграет фундаментальную роль в квантовой механике, но в то же время является некоторым “таинственным объектом “, который просто дополнительно вводится в теорию. В стандартной модели также должно быть введено взаимодействие, входящее в гамильтониан формально так же, как и потенциалV. Однако характер этого взаимодействия – другой. В нерелятивистской физике имеет место сохранение числа частиц – они не рождаются и не исчезают. Именно это обстоятельство и позволяет использовать концепцию потенциала. В релятивистской физики ситуация коренным образом меняется. Одной из основных ее особенностей является четко проявляющееся на опыте свойство частиц рождаться и поглощаться. Именно это свойство кладется в основу понятия взаимодействия в СМ. Таким образом, взаимодействие в СМ на фундаментальном уровне сводится к локальному, т.е. пространственно точечному, превращению фундаментальных частиц. Структура и содержание теории определяется тем, какова конструкция взаимодействия и какие элементарные превращения им вызываются.

Для того, чтобы можно было наглядно обсуждать элементарные акты взаимодействия, введем некоторые элементы общепринятой сейчас в физике диаграммной техники. Эта техника связана с изображением процессов преобразования частиц, как будто бы “развернутых” во времени. Поэтому для изображения процессов взаимодействия прежде всего нужно договорится о направлении “течения” времени. Именно, условимся считать, что время “течет” слева направо, а лептоны и кварки будем изображать отрезком сплошной линии со стрелкой, направленной также слева направо. Античастица будет изображаться линией со стрелкой, направленной справа налево. Так, линия

—

изображает фермион, а линия

—

антифермион. Такое изображение антифермионов соответствует первоначальной идее Фейнмана о том, что античастица есть распространяющаяся вспять во времени частица. Аналогичным образом бозон с зарядом будем изображать волнистой линией со стрелкой, направленной слева направо, а антибозон – со стрелкой справа налево:

Нейтральные бозоны будут изображаться волнистой линией без стрелки. Например, линия

изображает распространение Z-бозона или -кванта.

3. Что бы задать взаимодействие V в квантовой теории необходимо, во-первых, указать, между какими состояниями отличны от нуля его матричные элементы. В нерелятивистской физике матричные элементы оператора парного взаимодействия зависят от величин типа импульсов, моментов и т.д. Например, матрица

<k₁k₂| V| k₁k₂> (1.33)

описывает взаимодействие двух частиц с переходом их из состояния с импульсами k_1,k₂в состояние с импульсамиk^’_1,k^’₂. При этом в силу однородности пространства

импульс должен сохраняться:

.

В релятивистской теории оператор V должен уметь “рождать и поглощать” частицы, т.е. действует не только на пространственные координаты частиц, но также и на переменные, задающие их природу. Поэтому отличными от нуля могут быть матричные элементы оператора взаимодействия между состояниями с различными частицами и различными их числами. При этом опять—таки этот элемент будет зависеть от импульсов и спинов частиц и сумма импульсов в начальном состоянии должна равняться суммарному импульсу в конечном состоянии.

Например, в стандартной модели отличен от нуля матричный элемент, в котором с одной стороны от V находится однокварковое состояние, с другой – кварк-глюонное состояние. На диаграммном языке этот матричный элемент выглядит следующим образом:

gq Vq = (1.34)

Во-вторых, чтобы задать взаимодействие нужно указать конкретную конструкцию из волновых функций участвующих во взаимодействии частиц. Например, матричный элемент испускания скалярной частицы (внутренняя четность равняется нулю, см Гл.IIи §4) скалярной же частицей имеет вид:

<ss|V|s>=G (1.34)

Аналогичным образом, испусканию скалярной частицы частицей со спином ½ соответствует матричный элемент:

<sq|V|q> = G(1.35)

Наконец, в-третьих, при прочих равных условиях, нужно масштаб интенсивности превращения частиц задается величиной, называемой константой взаимодействия. В формулах (1.34) и (1.35) величина G есть константа взаимодействия.

4. В квантовой теории поля тесно связанными являются процессы испускания (поглощения) частиц и поглощения (испускания) античастиц, либо процессы испускания и поглощения, если частица не имеет античастицы. Это следует из того, в теории поля, лежащей в основе стандартной модели, непосредственно взаимодействуют не частицы, а поля. Каждое из квантовых полей есть сумма операторов поглощения и рождения частиц (квантов поля) и “таскается” взаимодействием по формулам как единое целое, что и приводит к упомянутой выше связи. Поэтому вместо “упорядоченных” во времени элементов типа

(1.36)

достаточно указать только один элемент – “вершину”, т.е. матричный элемент без волновых функций, без многочисленных вариантов изменения ориентации. Например, вместо соответствующих матричных элементов диаграмм Рис.1.36

(1.37)

можно говорить только о вершине, отбрасывая тривиальные множители внешних концов.

4. Перейдем теперь к знакомству с взаимодействиями в стандартной модели. Базисными в этой модели являются следующие взаимодействия:

а) взаимодействие фермиона с бозоном типа “трехлучевой” диаграммы:

(1.38)

б) взаимодействие бозонов g_a, W^, Z⁰друг с другом:

(1.39)

Рассмотрим подробнее, с какими бозонами взаимодействуют фермионы и какие бозоны способны превращаться друг в друга. Руководящим принципом здесь прежде всего являются законы сохранения зарядов – электрического (Q=0), лептонного (L=0) и барионного (В=0). Сохранение этих зарядов в процессах микромира было установлено в результате многих сложных экспериментов. Естественно, что оно заложено в стандартную модель.

Наиболее универсальным является взаимодействие фермионов с W^, Z⁰-бозонами. По сложившейся традиции взаимодействие,опосредствованное W^, Z⁰-бозонами, называется слабым взаимодействием. В лептонном секторе, т.е. среди лептонов, мы имеем следующие процессы превращения:

(1.40)

где (,l) – пары лептонных поколений.

Отметим, что в (1.40) учтены законы сохранения электрического и лептонного зарядов.

Взаимодействие W^-бозонов с кварками является более сложным. Для его компактной записи вводится 3х3 матрица, называемаяVматрицей Кабаяши-Маскава . Эта матрица следующим образом смешивает нижние компоненты кварковых дублетов:

d=V_udd+V_uss+V_ubb,

s=V_cdd+V_css+V_cbb, (1.41)

b=V_tdd+V_tss+V_tbb.

В терминах штрихованных нижних кварков d, s, bвзаимодействие кварков с W-бозонами представляется следующими диаграммами:

(1.42)

Иными словами, W-бозон связывает кварки в новых кварковых дублетах:

(1.43)

Связь W-бозонов с реальными кварками поясним, опираясь на пример конечного u-кварка:

(1.44)

Мы видим, таким образом, что элементы матрицы Кабаяши-Маскава являются важнейшими параметрами стандартной модели. Многочисленные эксперименты привели к следующим значениям элементов матрицы:

. (1.45)

Из этой матрицы следует, что b-кварк практически связан только с t-кварком, d и s-кварки связаны с u и c -кварками. С помощью (1.45) мы можем записать (1.44) в виде:

(1.46)

Коэффициенты перед диаграммой указывают на относительную интенсивность соответствующей связи. В данном случае взаимодействие su в (0.22)²раз меньше взаимодействия du.

Рассмотренные усложнения касаются только взаимодействия с кварками заряженных бозонов. Нейтральный бозон Z⁰не меняет природы кварка.

Слабое взаимодействие описывается теорией слабого взаимодействия , рассматриваемой в Гл.III.

4. Следующим по степени универсальности является взаимодействие фундаментальных фермионов с фотонами – электромагнитное взаимодействие. За исключением нейтрино, фотон связан со всеми фермионами – заряженными лептонами и кварками. Необходимым условием взаимодействия частиц с фотоном является заряд. Природа частицы в процессе поглощения и испускания фотона не меняется. Электромагнитное взаимодействие описывается квантовой электродинамикой (Гл.II).

5. Бозоны W^, Z⁰ивзаимодействуют также друг с другом. В стандартной модели имеются следующие фундаментальные процессы с участием носителей взаимодействия:

(1.47)

Отметим, что прямое -рассеяние в стандартной модели отсутствует. Тип взаимодействия W^, Z⁰и- бозонов предсказывается электрослабой теорией, которая коротко рассматривается в конце Гл.III.

6. В стандартной модели имеются цветные взаимодействия кварков с глюонами и глюонов между собой. В цветное взаимодействие вступают только частицы, обладающие цветом. Поэтому рассмотренные выше частицы - W^, Z⁰,и лептоны в цветном взаимодействие не участвуют.

Кварк-глюонное взаимодействие определяется только цветным зарядом кварка и не зависит от его аромата. Это значит, что элементарная диаграмма

(1.48)

является одной и той же для кварков всех ароматов.

Чрезвычайно важным является цветное взаимодействие глюонов. Оно имеет вид следующих диаграмм:

(1.49)

Цветные взаимодействия описываются квантовой хромодинамикой (КХД) и называются сильными взаимодействиями. Эти взаимодействия будут рассммотрены в Гл.V.

7. В физике частиц в течение длительного времени существовала концепция трех различных типов взаимодействий, ответственных за взаимопревращения частиц, – сильного, электромагнитного и слабого. Различие между ними связаны не только с различиями упомянутых выше конкретных конструкций взаимодействия, но и, прежде всего, казавшимися ранее сильными различиями констант связи. Обычно приводились в качестве констант связи следующие величины:

сильное взаимодействие g_s ²/4π≈ 1,

электромагнитное взаимодействие α =e²/4137 (1.50)

слабое взаимодействие g²_w/4π≈10^-5.

Как мы увидим ниже в §4 об адронах, “классические” сильные, слабые и электромагнитные взаимодействия драматически различаются по масштабам сечений и характерным временам вероятностей взаимопревращений частиц, известных до создания СМ. Огромным достижением стандартной модели явилась идентификация типов взаимодействия с определенными носителями взаимодействия и определение истинных констант взаимодействия.

В стандартной модели необходимо, очевидно, ввести три независимые константы связи – сильного _s=g_s²/4, электромагнитного=e²/4и слабого_Wвзаимодействия. В “обычных” условиях (см. ниже)=1/137,_Wимеет порядоки_s– как говорят, “порядка” единицы. Замечательной осбенностью СМ является, что в общем случае следует говорить не просто о константах связи, а о “бегущих константах” связи.

С динамической точки зрения стандартная модель описывает систему с бесконечным числом степеней свободы. Это означает, что в любом превращении может участвовать очень большое число частиц с различными импульсами. Такая система способна к обратной связи, в результате которой может возникать поляризация среды – вакуума и, как следствие, экранировка или антиэкранировка заряда ( сравните с ситуацией в физике сплошных сред).

8. Чтобы рассмотреть эту очень важную проблему, сделаем небольшое отступление и осудим вопрос о “виртуальных” частицах. Виртуальной частицей называют объект ( точнее микрообъект), для которого не выполняется хорошо всем известное релятивистское соотношение между энергией, импульсом и массой:

E² -= (1.51)

(реальная частица) → (виртуальная частица)

Здесь . О нарушении соотношения p²=m²говорят также, как о “сходе с массовой поверхности”. Для примера рассмотрим процесс превращения ee+. Этот процесс, однако, с реальными частицами запрещен законом сохранения энергии и импульса. Как же возможен тогда такой процесс, входящий во все квнтово- электродинамические диаграммы? Из квантовой теории мы знаем, что закон сохранения энергии может нарушаться на некоторое времяt, которое связано со степенью нарушения энергииЕ соотношением:

t 1/E. (1.52)

Поэтому на квантовом уровне процесс ee+, например, с реальными электронами возможен, но состояние e+должно исчезнуть (“схлопнуться) за времяt из (1.52).

Эту же физическую ситуацию можно отразить другим способом, постулировав сохранение энергии в процессе ee+, но приписав-кванту (электроны – реальные!) нефизическую “энергию” Е, которая находится из сохранения энергии в этом превращении. Ясно, что при этом энергия Е ≠и у фотона не может выполняться соотношение

Е²–р²=0.

Это значит, что фотон становится виртуальным, “нефизическим”, и может существовать только ограниченный промежуток времени, даваемый формулой (1.52).

Таким образом, в процессах рассмотренного типа либо мы принимаем ( что допускается квантовой теорией), что энергия в них не сохраняется, либо что энергия сохраняется, но частицы становятся виртуальными. Обычно в релятивистской квантовой теории – в данном случае в стандартной модели – принята вторая, наиболее удобная из этих двух эквивалентных формулировок. Степень нарушения у частицы соотношения (1.51) обычно называют степенью ее виртуальности.

Диктуемая квантовой теорией необходимость исчезновения виртуальной частицы естественно приводит к диаграммному изображению процессов преобразования частиц. В самом деле, в рассмотренном выше процессе ee+виртуальный фотон может поглотиться либо исходным электроном, либо еще одним электроном. Эти два процесса двумя почти очевидными диаграммами:

Первая из них носит названия диаграммы собственной энергии электроны. Она дает электромагнитную поправку к массе электрона. Вторая диаграмма описывает процесс рассеяния электрона на электроне за счет обмена виртуальным фотоном. Вертикальной пунктирной линией отмечено виртуальное промежуточное состояние, через которое осуществляется превращение начального состояние в конечное.

Не представляет труда написать квантовомеханические амплитуды, соответствующие этим диаграммам. Действительно, каждая из этих диаграмм отвечает второму порядку теории возмущении для амплитуды. Из квантовой теории известно ( см. раздел квантовой механики, посвященный уравнению Липпмана –Швингера), что в этом случае амплитуда перехода дается следующей формулой:

,

где M_fi,M_fn,M_niсоответственно амплитуды перхода из начального состояния в конечное, из промежуточного состояния в конечное и из начального в промежуточное; p₁₀ +p₂₀– начальная энергия, p₁₀ –конечная энергия нижнего электрона и- энергия фотона в промежуточном состоянии; множительносит название пропагатора; наконец, предполагается суммирование по всем допустимым промежуточным состояниям. Если наряду с рассмотренной диаграммой учесть еще один механизм, при котором фотон испускается верхним электроном, то к написанной выше амплитуде нужно добавить еще один член

.

Сумма этих двух амплитуд приводит к следующему выражению для полной амплитуды:

= ,

где ,. Если бы фотон обладал массой, то в знаменателе этого выражения стояло бы не, а-. И вообще, множительявляется типичным элементом пропагатора соответствующего распространению виртуальной частицы.

9.Анализ реального содержания стандартной модели показал, что вследствие самодействия полей константы связи превращаются в функции от виртуальности испускаемых частиц, например, бозонов. Поэтому квадрат матричного элемента, например, взаимодействия будет пропорционален неа(Q²), где Q²= –q²и q^-четыре-вектор виртуального бозона глюона). При физических кварках, например, q^является пространственно-подобным вектором q²<0.

Рассмотрим сначала бегущую константу (Q²) в квантовой электродинамике (КЭД). Как мы уже указывали, зависимость от Q²возникает за счет поляризации вакуума. В классической физике поляризация среды означает, что вокруг исходного, например, положительного заряда появляется экранирующее его облако отрицательного заряда. На квантовом уровне такого типа образность исчезает и под поляризацией вакуума понимают квантово-механическое искажение вакуума вносимым в него зарядом. В первом приближении по константе связи это искажение сводится к рождению полем электронно-позитронной пары. Соответственно, учесть поляризацию вакуума означает учесть при распространении фотона процессы вида:

(1.53)

т.е. развала фотона на пару и ее последующее схлопывание в фотон.

Вклад диаграмм типа (1.53) приводит к следующей формуле для (Q²):

(1.54)

где m_e– масса электрона.

Формула (1.54) учитывает только диаграммы вида (1.53) с электронами и позитронами. В более точных расчетах необходимо принять во внимание рождение пар всех фундаментальных частиц – других заряженных лептонов, кварков и W-частиц. Это модифицирует формулу (1.54), но качественное поведение (Q²) останется прежним: в области “обычной” физики при Q²m_e

(Q²)= =1/137

и медленно (логарифмически) растет с ростом Q², обращаясь в бесконечность при достаточно больших Q². Для формулы (1.54) это имеет место при

2. Q² ≈ ,

т.е. при энергиях

E≈

Рост (Q²) при больших Q²уверенно подтверждается на опыте. Например, анализ е⁺е^—столкновений при энергии в СЦИ Е=58 Гэв показал, что

1/(Q²=(58 Гэв)²)=128.61.6 (1.55)

что значительно отличается от привычного числа =1/137. Значение (1.55) хорошо согласуется с модифицированной формулой (1.54).

Интересно отметить, что если смотреть на (Q²) как на Фурье-образ пространственного распределения® бегущей константы взаимодействия, то (1.54) соответствует обычной экранировке заряда в диэлектрике – эффективный заряд в этом случае всегда меньше свободного заряда. Действительно, чем выше виртуальность Q²фотона, тем меньшее время он существует и, следовательно, тем на меньшее расстояние он может уйти от испускающего его точечного заряда. Поэтому большим Q²соответствуют малые расстояния r. В результате для(R) мы получаем картину распределения заряда, схематически изображенную на рис. 1.3.

3. Рис.1.3

Таким образом, в КЭД константа связи при нефантастически высоких энергиях является небольшой=1/137. При такой малой константе применима теория возмущений. Это значит, во-первых, что при расчете любых процессов можно ограничиться механизмами с минимальным числом поглощений-испусканий фотонов (см. Гл. II). Во-вторых, это значит, что в квантовой электродинамике скорее всего не возникает фазовых переходов и нетривиальных эффективных степеней свободы, как это имеет место в квантовой хромодинамике ( см.§ 5 этой главы и Гл.V). Иными словами, в КЭД отсутствует нетривиальная непертурбативная область, свойственная как мы увидим КХД.

Вместе с тем, остается вопрос о том, что же происходит с константой связи и квантовой электродинамикой при очень высоких энергиях – становится ли КЭД принципиально непертурбативной или перестает быть физической теорией? Предполагаемый ответ на вопрос сводится к следующему. В области энергий 10¹⁵Гэв квантовая электродинамика, теория слабых взаимодействий и квантовая хромодинамика объединяются в постстандартную теорию, контуры которой еще не ясны. Тем не менее – об этом говорит весь опыт стандартной модели – очень вероятно, что эта единая теория по образцу квантовой хромодинамики обладает свойством асимптотической свободы и ее константа связи асимптотически обращается в нуль.

9. Перейдем теперь к бегущей константе связи _s(Q²) в КХД. Аналогичная (1.54) формула в этом случае имеет вид:

=(1.56)

где ²произвольная точка, которая служит началом отсчета, n_f– число ароматов кварков, учитываемых при нахождении поляризации вакуума, а постоянная, определяется из условия:

1+(11-2/3n_f) =0 . (1.57)

По существующим оценкам Λ≈ 100-200 Мэв.

Из (1.57) следует, что в КХД реализуются два, как говорят, режима работы. Один из них осуществляется в области больших Q²в пределе Q²и называется пертурбативным, второй – непертурбативный – в области Q².

Рассмотрим сначала случай больших Q². Как видно из (1.56), при Q²постоянная связи КХД логарифмически обращается в ноль. Это свойство теории получило название асимптотической свободы. В асимптотически свободных теориях при достаточно больших Q²константа связи становится столь малой, что по этой константе можно применять теорию возмущений. Отсюда и термин пертурбативная область (perturbation – возмущение).

Поскольку большие Q²соответствуют малым расстояниям от испускающего глюон точечного заряда, то непертурбативный режим реализуется на малых расстояниях. В квантовой хромодинамике теория возмущений хорошо применима при Q²4(Гэв)². Это соответствует расстояниям r1/Q²=0.2 фм.

Основные экспериментальные подтверждения КХД связаны с ее пертурбативными предсказаниями. В частности, важнейшим тестом КХД является соответствие _s(Q²) в пертурбативной области формуле (1.56). Экспериментально определенные значения бегущей константы связи_s(Q²) таковы:

_s(Q²=(4.7Гэв)²)=0.1790.009,

_s(Q²=(34Гэв)²)=0.1320.016, (1.58)

_s(Q²=(81Гэв)²)=0.1200.005.

Нетрудно убедиться, что значения (1.58) великолепно согласуются с формулой (1.56). Другие пертурбативные процессы будут рассмотрены в главе V.

В заключение сделаем несколько замечаний о различном поведении бегущих констант в КЭД и КХД при больших Q². В формуле (1.56) положительный в целом коэффициент (11–2/3n_f) перед логарифмом содержит два существенно различных слагаемых. Одно из них – (–2/3n_f) – возникает за счет кварк-антикварковых поляризационных поправок

(1.59а)

второе – число 11 – за счет глюонной поляризации вакуума

(1.59б)

Если пренебречь глюонными процессами в (1.59б) и, следовательно, в коэффициенте перед логарифмом, то мы возвращаемся к формуле типа (1.54), когда бегущая константа неограниченно растет с ростом Q². Таким образом, замечательная черта КХД – асимптотическая свобода, с которой тесно связан пертурбативный режим КХД, обусловлена самодействием глюонов. В квантовой электродинамике такое самодействие фотонов отсутствует, и поэтому константа растет с ростом Q².

10.Непертурбативный режим КХД, т.е. режим при котором теория возмущений неприменима, реализуется при Q², близких к². В этой области_s, как видно из формулы (1.56), становится очень большой. Взаимодействие между фундаментальными степенями свободы оказывается очень сильным и создается ситуация, когда теория возмущений становится неприменимой.

В непертурбативной области динамические степени свободы системы могут отличаться и, как правило, отличаются от фундаментальных, в данном случае кварк-глюонных. Например, в атомном ядре доминируют нуклонные (см.§ 5), а не кварк – глюонные, степени свободы. Аналогичным образом, структура нуклона в значительной степени определяется тем, что в волновой функции нуклона присутствуют пионы. Далее, сформированные кварк–глюонным взаимодействием эффективные степени свободы начинаю “жить” сами по себе, взаимодействуя друг с другом. Например, между нуклонами и мезонами также имеет место взаимодействие и достаточно сильное. Разобраться в таких системах чрезвычайно сложно. В сущности, чтобы решить проблему эффективных степеней свободы, нужна либо удачная догадка, либо почти точное решение задачи бесконечного числа степеней свободы, причем с учетом релятивистских эффектов. Вообще говоря, физика уже встречалась с такими системами, и тем или иным способом решала возникающие многочисленные проблемы.

В физике атомного ядра решающий шаг был сделан с осознанием того, что нуклоны в первом приближении движутся независимо в самосогласованном потенциале ( оболочечная модель). В физике твердого тела была разработана концепция квазичастиц, например, квазиэлектронов, с массой, вообще говоря, существенно отличной от массы свободного электрона. Эффективными степенями свободы в твердом теле, возникающими за счет взаимодействия фундаментальных частиц (в этом случае ионы и электроны), являются фононы, кванты спиновых волн и т.д.

Далее, в физике сплошных сред распознана также роль различных фазовых переходов. Все такого типа явления могут иметь и имеют место в непертурбативной КХД.

В заключение отметим, что возникновение непертурбативного режима КХД может реально происходить и не при очень больших значениях _s. Некоторые физики считают, что он наступает при_s=1/3.

11.Систематизируем законы сохранения, содержащиеся в стандартной модели. Во всех элементарных процессах превращения частиц имеет место сохранение:

электрического заряда Q;

лептонных зарядов (L_i);

барионного заряда (В) (кварк превращается в кварк!).

Это значит, что и в любых процессах со сколь угодно сложными системами должно иметь место сохранение Q, L_i, B, т.е. должно быть

Q=L_e=L_=L_=B=0, (1.60)

где, например, Q есть разность суммарных электрических зарядов до и после реакции. Аддитивность зарядов позволяет находить суммарный заряд просто сложением зарядов отдельных частиц.

Наряду с этими, “абсолютно” сохраняющимися зарядами в стандартной модели имеются, как мы уже указывали, приближенно сохраняющиеся заряды. Ими являются странность S, шарм С, бьюти В и топ Т. Приближенно сохраняется также изоспин. Странность, шарм и т.д. сохраняются в КХД и электродинамике, но изменяются в процессах с обменом W, Z-бозонами. Изотопический спин, вообще говоря, не сохраняется ни в КХД, ни в электродинамике, ни в слабом взаимодействии. В КХД, однако, степень несохранения изотопического спина весьма невелика – на уровне процента. Поэтому в сильном взаимодействии в первом приближении изотопический спин можно считать сохраняющимся.

Открытие нетривиальных зарядов элементарных частиц было не простым делом. В частности, в становлении концепции лептонных зарядов очень важную роль сыграло осознание того, что электронное и мюонное нейтрино “чем-то” очень существенно отличаются. Об этом свидетельствовал распад мюона. Именно, вместо естественного способа распада

e+, (1.61)

мюон почему-то избирает достаточно сложный канал распада:

_+e+_e. (1.61а)

Концепция лептонных зарядов и их сохранения очевидным образом объясняют отсутствие распада (1.61). Прямое экспериментальное подтверждение различия мюонного и электронного нейтрино было получено в CERN в 1962 году. (Кстати, эксперимент был поставлен по идее Б.Понтекорво, выдающегося советского физик, итальянца по происхождению). Схема эксперимента изображена на рис. 1.4.

Рис.1.4

Суть его сводится к следующему. Пучок мюонных нейтрино, образующихся при распаде пионов

^^+_(_) (1.62)

и отсепарированный с помощью толстого слоя железа (10-тысячетонная корабельная броня) попадал на мишень и мог производить реакции типа

_+n^–(e^–)+p, (1.63)

где n и р – нейтрон и протон. Если _и_eсущественно отличаются (сохраняющимся лептонным зарядом), то нейтрино могло произвести только реакцию

_+n^–+p, (1.64)

но не реакцию

_+n(e^–)+p, (1.65)

На опыте было обнаружено, что с подавляющей вероятностью идут процессы (1.64).

Отсюда, конечно, не следует, что с какой-то очень небольшой вероятностью, не обнаруживаемой современной аппаратурой, протекают процессы с несохранением лептонного заряда. Наиболее тонким тестом на сохранение лептонного заряда являются возможные осцилляции нейтрино, т.е. спонтанные переходы

_e__. (1.66)

Возможность таких процессов впервые обсуждалась Б. Понтекорво. Для существования осцилляций необходимо, чтобы нейтрино обладали массой и имело место несохранение лептонного заряда. Многочисленные эксперименты пока еще не привели к однозначным заключениям. Наибольшее доверие вызывают результаты коллоборации Super Kamiokande, объявивших в 1998 году об открытии явления осцилляций нейтрино в космических лучах. Подробнее об осцилляциях см. Гл. III.

Наконец, несколько замечаний о сохранении барионного заряда. В некоторых вариантах объединенных теорий стандартной модели барионы, в частности протоны, оказываются нестабильными. В связи с этим были проведены многочисленные поиски распада протона, которые оказались безрезультатными. Нижний предел времени жизни протона в настоящее время равняется 10³¹510³²лет.