Семинары / Семинары / SEMINAR3

Семинар 3.

1. Условная вероятность.

Тройка называется вероятностным пространством, если выполнены следующие 5 условий:

1. – -алгебра, то есть

2. Вероятность определена для любых событий из алгебры.

3. Аддитивность вероятности

4. Сигма аддитивность вероятности

5. Нормированность вероятности.

Предположим, нам известно, что произошло некоторое событие и нам требуется узнать вероятность некоторого другого события . Например, при игре в карты вы знаете только свои карты, и хотите узнать вероятности раскладов остальных карт. В таком случае вводят понятие условного вероятностного пространства , где

Замечание. Предполагается, что

Свойства условной вероятности.

1. Вычисление вероятности пересечения событий.

Формула умножения вероятности

2. Формула полной вероятности.

Пусть задана полная группа событий, то есть . Тогда

3. Формулы Байеса.

Для полной группы событий, то есть

2. Независимость событий.

События называются независимыми, если .

Если события независимы, то независимы также следующие пары

В терминах условной вероятности это определение эквивалентно следующим:

Примеры:

3.1 Студент пришёл на экзамен, зная лишь 20 из 25 вопросов программы. Экзаменатор задал студенту 3 вопроса. Используя понятие условной вероятности найти вероятность того, что студент знает все вопросы. Найти ту же вероятность, используя классическое определение вероятности.

Решение: Нам нужно найти вероятность одновременного наступления трёх событий , по формуле вероятности пересечения событий получаем , а по формулам классической вероятности:

3.4 Стрелок поражает мишень с вероятностью , стрелок – с вероятностью и стрелок – с вероятностью . Стрелки дали залп по мишени и две пули попали в цель. Что вероятнее: попал или нет?

Решение: По условию попали двое, обозначим – событие, заключающиеся в том, что попали двое.

Таким образом, вероятнее, что попал.

3.8 Вероятность того, что письмо находится в письменном столе, равна , причём с равной вероятностью оно может быть в любом из восьми ящиков стола. Просмотрели семь ящиков и письма не нашли. Какова вероятность, что письмо в восьмом ящике?

Решение: Обозначим – в семи ящиках нет письма, письмо есть в восьмом и письма нет в столе. Тогда, искомая вероятность будет равна , очевидно, что вероятность письму отсутствовать в нижних ящиках при условии, что оно есть в верхнем, равна единице. Таким образом .

3.16 Из урны, содержащей 3 белых и 2 чёрных шара, переложены два вынутых наудачу шара в урну, содержащую 4 белых и 4 чёрных шара. Найти вероятность вынуть из второй урны белый шар.

Решение: Введём обозначения , , , . Здесь буквы обозначают последовательность вынимания шаров из первой урны. Видно, что эти события образуют полную группу, таким образом . Найдём входящие в сумму вероятности.

3. Последовательность независимых испытаний.

Рассмотрим некоторый случайный эксперимент . Пусть он содержит конечное число элементарных исходов:

Предположим, что данный случайный эксперимент повторен раз. Тогда новый эксперимент можно описать следующим вероятностным пространством :

Для построенного нового вероятностного пространства выполняются все аксиомы вероятностного пространства.

Если , то схема независимых испытаний называется биноминальной схемой, в остальных случаях полиномиальной схемой.

В рамках биноминальной схемы приняты следующие обозначения . При этом называется успехом, а неудачей. Основное событие, которое рассматривается в данной схеме, это вероятность ровно успехов в серии из испытаний. Вероятность каждого элементарного исхода равна , а всего таких элементарных исходов будет , таким образом .

Помимо биноминальной схемы можно рассмотреть отрицательную биноминальную схему или распределение Паскаля. Основное событие в этой схеме – для достижения успехов потребовалось испытаний. Для подсчёта искомой вероятности заметим, что последним результатом должен быть обязательно успех, в противном случае -ый успех будет достигнут раньше. Таким образом

Для полиномиальной схемы очевидно будет

Примеры:

4.2 Для того, чтобы узнать, сколько рыб в озере, отлавливают 1000 рыб, метят их и выпускают обратно в озеро. Потом 150 раз отлавливают по одной рыбе и снова выпускают в озеро. При каком общем числе рыб в озере будет максимальной вероятность встретить среди 150 отловленных рыб 10 меченых.

Решение: Задача отвечает биномиальной схеме независимых испытаний, в которой успех есть отлавливание меченой рыбы. Всего проведено испытаний, успехов . Вероятность успеха в единичном испытании равна доле меченых рыб среди всех рыб в озере, т.е. где – общее число рыб,

Найдем . Очевидно, что , на котором достигается максимум по функции

и есть искомое решение. Дифференцируем по и приравниваем производную нулю. Получаем уравнение для определения : . Отсюда

4.3 Допустим, что вероятность попадания в цель при одном выстреле равна , а вероятность поражения цели при попаданиях в неё . Какова вероятность того, что цель поражена, если было произведено выстрелов.

Решение: Введём обозначения – цель поражена, – попаданий в мишень. Тогда

4.9 Ведётся стрельба до первого попадания. Выстрелы независимы и вероятность попадания при каждом выстреле равна . Какова вероятность того, что потребуется 6 выстрелов, если известно, что было сделано чётное число выстрелов?

Решение: Введём обозначения – потребовалось выстрелов, где – произвольное чётное число, – потребовалось чётное количество выстрелов. Очевидно, что . Тогда искомая вероятность будет

Для нахождения входящих в это выражение вероятностей воспользуемся отрицательной биноминальной схемой с :

Таким образом искомая вероятность будет: