Релятивистский импульс.

Уравнения Ньютона инвариантны относительно преобразований Галилея и не инвариантны относительно преобразований Лоренца. Покажем, что закон сохранения импульса, вытекающий из законов Ньютона, не инвариантен по отношению к преобразованям Лоренца. Рассмотрим неупругий удар двух одинаковых шаров, двигающихся с одинаковыми скоростями друг навстречу другу. Пусть в системе К одно тело движется вдоль оси x со скоростью v₀ , а другое навстречу первому со скоростью - v_0. При этих условиях после столкновения шары будут покоиться. Таким образом, в системе К полный импульс системы сохраняется - до и после столкновения равен нулю.

В системе К': скорость первого тела до удара:

скорость второго тела до удара:

После столкновения скорости шаров одинаковы: .

Следовательно, суммарный импульс до столкновения равен , после столкновения . Т.е. импульсы системы до и после столкновения различаются. Таким образом, закон сохранения импульса в ньютоновской формулировке оказался не инвариантным по отношению к преобразованиям Лоренца.

Найдем такое выражение для импульса, чтобы закон сохранения импульса оставался инвариантным по отношению к преобразованиям Лоренца при любых по величине скоростях. Будем исходить из того, что при малых скоростях (v<<c) справедливо ньютоновское выражение для импульса: .

При малых скоростях собственное время частицы не отличается от времени , отсчитанного по часам системы, в которой рассматривается движение частицы. Поэтому можно записать .

Пусть в системе К закон сохранения импульса выполняется: (12)

Здесь индекс "0" определяет значения и до удара, индексы “1” и “2” соответствуют первому и второму телам.

Прейдем в систему К', движущуюся относительно К со скоростью . В силу инвариантности соответствующие промежутки собственных времен останутся неизменными: , , , (13)

Между проекциями перемещения на оси систем К и К' (согласно преобразованиям Лоренца (1)) имеются соотношения: , , (14) Спроектируем (12) на оси системы К и, используя (13) и (14), получим, что .

Сравнение последнего равенства и (12) показывает, что определение импульса в виде обеспечивает инвариантность закона сохранения импульса по отношению к преобразованиям Лоренца.

Таким образом, импульс равен , где - промежуток времени, отсчитываемый по часам системы, движущейся вместе с частицей, . Здесь - промежуток времени, отсчитываемый по часам системы, относительно которой частица движется. Таким образом, или .

Импульс, как и в ньютоновской механике, равен . Но масса тела здесь не остается инвариантом, а зависит от скорости движения частицы: .Массу - называют массой покоя. Тогда импульс частицы определяется выражением : (15)

Релятивистское значение энергии.

Второй закон Ньютона инвариантен относительно преобразований Лоренца, если импульс представить в виде : . Следовательно,. Домножим левую и правую части последнего уравнения скалярно на .

Согласно закону сохранения энергии, работа, совершаемая над частицей, должна быть равна приращению энергии частицы. Таким образом, выражение, определяющее связь полной энергии и массы, полученное А. Эйнштейном, принимает вид: (16) или

Это уравнение выражает фундаментальный закон природы - закон пропорциональности массы и энергии: полная энергия системы равна произведению ее массы на квадрат скорости света в вакууме.

Если скорость частицы равна нулю, то .

Это энергия представляет собой внутреннюю энергию частицы, не связанную с движением частицы как целого. Эту энергию называют энергией покоя частицы.

Определим связь энергии и импульса релятивистской частицы. Из формулы (15)

получаем: , .

Подставляя полученное выражение в формулу (16), получим:

Связь энергии и импульса частицы определяется выражением: