Интервал.

Какое-либо событие можно характеризовать местом, где оно происходит (т.е. координатами x, y, z), и временем t . Событию можно сопоставить 4 числа x, y, z, t. Введем четырехмерное пространство. В четырехмерном пространстве событие изображается мировой точкой. Любой частице в этом пространстве соответствует мировая линия. Если частица покоится, то линия параллельна оси t. Пусть одно событие совершается в точке с координатами x₁, y₁, z₁, t₁, а другое в точке с координатами x₂, y₂, z₂, t_2.

Интервалом между двумя событиями называется величина, равная (11)

, , , , - расстояние между двумя точками.

Тогда

Покажем, что интервал инвариантен в любой системе координат, т.е. остается неизменной величиной в любой системе координат.

В системе K':

Согласно преобразованиям Лоренца:

Т.о. интервал - является инвариантом, т.е. остается неизменной величиной в любой системе координат.

Пусть первое событие заключается в том, что из точки с координатами x₁, y₁, z₁ в момент времени t₁ испускается световой сигнал, а второе событие - в том, что в момент времени t₂ световой сигнал достигает точки с координатами x₂, y₂, z_2. За время t сигнал проходит расстояние . Следовательно

Если расстояние между точками, в которых произошли два события, больше ( ), то указанные события не оказывают влияние друг на друга ( любое взаимодействие распространяется со скоростью меньшей или равной с), т.е. не могут быть причинно связанными друг с другом. Согласно (11) в этом случае будет мнимым. Такой интервал называется пространственноподобным. Два события, разделенные пространственноподобным интервалом, ни в одной системе координат не могут совершаться в одной точке, т.к. если бы они совершались в одной точке, то l = 0 и, следовательно, был бы вещественным, но является инвариантом, и должен оставаться мнимым в любой системе координат.

Если расстояние между точками, в которых произошли два события, меньше , то указанные события связаны причинно-следственной связью, т.к. сигнал успевает за время t достигнуть второй точки. При этом - вещественен () . Такой интервал называется времениподобным. Два события, разделенные времениподобным интервалом, ни в одной системе координат не могут выполняться одновременно, т.к. в противном случае, и, следовательно, - мнимый, но является инвариантом, и должен оставаться вещественным в любой системе координат.

Возьмем мировую точку О некоторого события за начало отсчета координат и времени. В четырехмерном пространстве все оси x, y, z, t перпендикулярны друг другу. На рисунке изобразим две оси x и t.

Мировая линия, соответствующая движению частицы со скоростью с изображается прямыми . Т.к. частица не может двигаться со скоростью v >c, то в заштрихованные области частица не попадает. Верхнее пространство называется абсолютным будущим, а нижнее - абсолютным прошедшим.

Рассмотрим точку А.. Здесь , т.е. интервал времени подобный. . Если взять системы отсчета, скорость которых относительно нашей меняется непрерывно, будет непрерывно меняться и . Но не может быть равной нулю, т.к. - времениподобный интервал. Следовательно, не может быть меньше нуля. Следовательно в любой системе отсчета событие А происходит после события О.

Рассмотрим точку В. Здесь также , т.е. интервал времениподобный. . Следовательно, . Поэтому не может быть больше нуля ни в какой системе отсчета, т.е. событию О всегда предшествует событие В.

Для любых точек C и D, которые лежат в области , и - пространственноподобные. В любых системах отсчета события О и С, О и D происходят в различных точках пространства. В одних системах отсчета событие С происходит раньше, чем О, а в других событие О происходит раньше, чем С.

Собственное время - это время, которое отсчитывается по часам в системе отсчета, где тело покоится. Будем обозначать его : , где - время, отсчитанное по часам системы, относительно которой тело движется. .

Т.к. является инвариантом и с является инвариантом, то также является инвариантом, т.е. не зависит от того, к какой системе отсчета наблюдается движение данного тела.