Министерство образования Российской Федерации

Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники

Контрольная работа №12

По дисциплине: высшая математика

На тему: ответы на вопросы контрольной работы

Вариант: 2

Выполнил:

2003

1. Дана матрица распределения вероятностей системы (X,Y)

	X
Y	1	2	3
1	0,1700	0,1300	0,2500
2	0,1000	0,3000	0,0500

Найти: а.) ряды распределений X и Y ; б.) (561.Д7) ; в.) (560.Д7) ; г.) (821.Д5) ; д.) (ДТ1.Д5) ; е.) (731.Д4) cov(X,Y); ж.) (041.Д7) , округлить до 0,1; з.) ряд распределения Y, если X =3; и.) (3П1.Д7) М[Y/X=3], округлить до 0,01.

Решение:

а.) Суммируя по столбцам, а затем по строкам элементы матрицы распределения, найдём искомые ряды распределения:

Ряд распределения Х:

X	1	2	3
p	0,2700	0,4300	0,3000

Ряд распределения Y:

Y	1	2
p	0,5500	0,4500

б.) находим по формуле: используя ряд распределения X:

=1*0,27 00+2*0,4300+3*0,3000=2,0300.

в) находим по формуле: , используя ряд распределения Y:

=1*0,5500+2*0,4500=1,4500.

г.) Найдём по формуле: :

=

д.) Найдём по формуле: :

=

е.) Для числовой характеристики степени зависимости величин X и Y используем величину , называемую ковариацией:

;

;

В нашем случае:

Cov(X,Y)=2,88-2,03·1,45=-0,064.

ж) Коэффициент корреляции :

=

X и Y являются коррелированными.

з.) Ряд распределения Y при X = 3 находится, используя:

Следовательно:

Y / X =3	1	2
p	0,83	0,17

и.) найдём, используя ряд распределения У при Х =3:

= 1∙0,83 + 2·0,17 =1,17.

ОТВЕТ: =2,0300; =1,4500;

= 0,5691; =0,248;

cov(X,Y)= - 0,064; = - 0,2; =1,17.

2. Дана плотность распределения вероятностей системы:

Найти: а.) (221) константу С ; б.) ,; в.) (971) ; г.) (472) ; д.) (131) ; е.) (1Т1) ; ж.) (П32), cov(X,Y) ; з.) (ПР1) ; и.) (6Р2) ; к.) (7Р3) М[Y/X=].

Решение:

а.) Константу С найдём из условия нормировки:

, где D – область, ограниченная сторонами треугольника ОАВ.

Так как прямая (ОВ): , следовательно:

б.) Плотность распределения случайной величины Х находим по формуле:

При фиксированном x из промежутка (0<x<1) переменная у меняется :

.

Плотность распределения случайной величины y находим по формуле :

При фиксированном у из промежутка (0<y<2) переменная х меняется :

, .

= =

в.) Математическое ожидание случайной величины х:

.

г.) Математическое ожидание случайной величины y:

.

д.) Найдем дисперсию случайной величины х:

;

; ;

е.) Найдем дисперсию случайной величины у:

;

ж.) Находим ковариацию:

;

=0,5-0,667∙0,667=0,111;

з.) Коэффициент корреляции:

=

и.)

;

;

к.) Условное математическое ожидание:

= ; , при

ОТВЕТ: а.) С=1 ; б.) =2х,=; в.) =0,667; г.) =0,667; д.) =0,056; е.)=0,222; ж.)cov(X,Y)= 0,111; з.) =0,99; и.) =0,375 ; к.) М[Y/X=]=.

3(552.Д7). Среднее квадратичное отклонение нормальной случайной величины Х равно 10 единицам. Для выборки объёма 100 построить доверительный интервал для оценки математического ожидания с надёжностью =0,95, если выборочное математическое ожидание равно шести единицам. В ответ ввести координату правого конца интервала.

Решение:

, n=100, ,

В нашем случае . По таблице для функции Лапласа находим t=1,96. Следовательно, . Тогда из неравенства следует, что с вероятностью 0,95 справедливо неравенство .

ОТВЕТ: координата правого конца интервала 7,96.