5 Пример выполнения индивидуального задания № 1

Задание: перенести заготовку из состояния 5 в состояние 1 по траектории 5 — 2 — 1.

Разработать пространство состояний для заданной рабочей среды.

Для построения пространства состояний примем направления движения всех степеней подвижности и с учетом принятых направлений построим пространство состояний робота при выполнении заданного задания.

При выполнении задания заготовку переносить из исходного состояния манипулятора.

Рис. 2 — Пространство состояний для переноса заготовки

из состояния 5 в состояние 1

Решение задачи с использованием пространства состояний можно проделать с квантованными (дискретными) значениями состояний (значения по каждой оси), используя сочетания положения заготовки и состояния схвата (раскрыт или сжат), а также с произвольными значениями состояний.

Необходимо отметить, что в сложных задачах имеют место нереализуемые задачи. Поэтому при разработке пространства состояний необходимо рассматривать процедуры, позволяющие выбирать оптимальные маршруты. Такие процедуры могут быть представлены во взаимосвязи со всеми возможными состояниями, их переходами, стоимостями каждого перехода исходного и конечного состояний.

Для заданной рабочей среды первого индивидуального задания потребуется использовать три степени подвижности (П1, Р, К1).

6. Индивидуальное задание № 2 Определить координаты точек при повороте системы координат

6.1 Параллельный перенос и вращение координат в векторном методе

Пусть оси исходной прямоугольной системы координат x, y, z, оси системы координат после операции переноса ,,, а оси системы полученные в результате вращенияx₁, y₁, z₁ (рис. 2.14). Обозначим базисные векторы старой и новой систем координат соответственно (i, j, k) и (i₁, j₁, k₁). Отложив на осях OX, OY, OZ в положительном направлении отрезки ОА, ОВ, ОС, равные единице масштаба, получим три вектора (еще они называются основными векторами) и обозначаются соответственно i, j, k.

Рис. 6.1 — Параллельный перенос

и вращение системы координат

Старую и новую системы координат запишем в следующем виде:

Старая система координат {O; x, y, z};

Новая система координат {O₁; x₁, y₁, z₁}.

Точка Р в старой системе имеет координаты Р(x,y,z), в новой системе Р(x₁,y₁,z₁). Между координатами существует соотношение вида:

=C₁ + . (1)

Переменные ,,характеризуют величину параллельного переноса вдоль каждой из соответствующих осей при преобразовании систем координат изО → О₁. Т.е. эти переменные являются координатами точки О₁ (начало новой системы координат О₁), выраженными в старой системе координат.

Множитель С₁ называется матрицей преобразования координат, описывающая операцию вращения и состоящая из следующих элементов:

= , (2)

где i, i₁ — скалярное произведение базисных векторов.

Матрицу поворота можно определить как матрицу преобразования трехмерного вектора положения в евклидовом пространстве, переводящую его координаты из повернутой системы отчета O₁, X₁,Y₁, Z₁ в абсолютную систему координат OXYZ.

Пусть (i_x, j_y, k_z) и (i_x1, j_y1, k_z1) — единичные векторы, направленные вдоль осей систем OXYZ и O₁, X₁, Y₁, Z₁ соответственно. Точку P в пространстве можно определить координатами относительно любой из указанных систем. Предположим, что точка P фиксирована и неподвижна в системе отсчета O₁, X₁, Y₁, Z₁. Тогда в системах координат O₁, X₁, Y₁, Z₁ и OXYZ точка P будет иметь соответственно координаты

P_x1,y1,z1 = (P_x1,P_y1,P_z1)^T

и (3)

P_x,y,z = (P_x,P_y,P_z)^T.

Верхний индекс Т, в обозначении вектора или матрицы, обозначает операцию транспонирования. (Транспонированная матрица, матрица, получающаяся из данной прямоугольной или квадратной матрицы А А =||a_ik|| после замены строк соответственно столбцами. Обозначение = ||_ik||, где _ik = a_ki для любых i и k).

Задача состоит в том, чтобы определить матрицу С₁, которая преобразует координаты Рx₁,y₁,z₁ в координаты вектора Р в системе OXYZ после того, как система O₁, X₁, Y₁, Z₁ будет повернута т.е.

Р_xyz = C₁P_x1,y1,z1. (4)

Следует отметить, что физически точка Р вращается вместе с системой координат O₁, X₁, Y₁, Z₁.

Из определения компонент вектора имеем

P_x1,y1,z1 = P_x1·i_x1+P_y1·j_y1+P_z1·k_z1, (5)

где Р_х1, P_y1 и P_z1 представляют собой составляющие вектора Р вдоль осей OX₁, OY₁ и OZ₁ соответственно, или проекции вектора Р на эти оси. Используя определение скалярного произведения и равенство (5) получим:

P_x = i_x·p = i_x·i_x1·p_x1 + i_x·j_y1·p_y1 + i_x·k_z1·p_z1,

P_y = j_y·p = j_y·i_x1·p_x1 + j_y·j_y1·p_y1 + j_y·k_z1·p_z1, (6)

P_z = k_z·p = k_z·i_x1·p_x1+ k_z·j_y1·p_y1+ k_z·k_z1·p_z1

или в матричной форме:

= ·. (7)

С учетом этого выражения матрица С₁ в равенстве (4) примет вид

С₁ = . (8)

Аналогично, координатыP_x1,y1,z1 можно получить из координат P_x,y,z:

P_x1,y1,z1 = Q×P_x,y,z, (9)

или = × . (10)

Т.к. операция скалярного произведения коммутативна, (a + b = b + a или ab = ba), то из соотношений (8–10) следует

Q = C₁^–1 = C₁^T, (11)

QC = C₁^TC₁ = C₁^–1×C₁ = I₃, (12)

где I₃ — единичная матрица размерностью 3´3. Преобразование, определяемое выражением (4) или (9), называется ортогональным преобразованием, а т.к. все векторы, входящие в скалярные произведения, единичные, его также называют ортогональным преобразованием.

Рассмотрим матрицы поворота системы O₁, X₁,Y₁, Z₁ относительно каждой из трех основных осей системы OXYZ. Если положение системы O₁, X₁, Y₁, Z₁ в пространстве изменяется за счет поворота этой системы на угол α вокруг оси OX , то в системе отсчета OXYZ изменяются и координаты (p_x,p_y,p_z)^T точки P_x1,y1,z1, имеющей в системе O₁, X₁,Y₁, Z₁ неизменные координаты (P_x1,y1,z1) Соответствующая матрица преобразования С_x,α называется матрицей поворота вокруг оси OX на угол α. Основываясь на полученных выше результатах, для матрицы С_x,α имеем

P_x,y,z = С_x,α × P_x1,y1,z1 (13)

причем i_x ≡ i_x1, и

C_x,α = = . (14)

Аналогично, трехмерные (размерностью 3´3) матрицы поворота вокруг оси OY на угол φ и вокруг оси OZ на угол θ имеют соответственно вид (рис. 2.15) [8]:

C_y,φ = , C_z,θ =. (15)

a = 90°

f = –90°

q = 90°

Рис. 6.2 — Вращающаяся система координат

Матрицы C_x,α, C_y,φ и C_z,θ называются матрицами элементарных поворотов. Любые другие матрицы конечных поворотов можно получить, используя матрицы элементарных поворотов.