4. Методические указания к выполнению практических работ

4.1 Формулы алгебры высказываний

Для решения задачи необходимо знать определение формулы алгебры высказываний; подформулы формулы алгебры высказываний; таблицы истинности; выполнимой, тождественно истинной и ложной формул алгебры высказываний (см. п. 3.1.2). Решим несколько примеров.

Пример 1:

Даны два высказывания:

А={число 174 не делится на 3}, B={идет дождь}.

В чем заключаются высказывания:

а) A;

б) A B;

в) A  B;

г) A B;

д)  AB;

е) AB.

Какие из этих высказываний истинны, а какие ложны?

Решение:

1. По определению операции отрицания (п.3.1.2):

 A= {число 174 не делится на 3}. Данное высказывание является ложным.

2. AB= {число 174 делится на 3 или идет дождь}.

Так как высказывание Aявляется истинным, то независимо от логического значения высказыванияBвысказывание (AB) является истинным (см. табл.2 п.3.1.2).

3. AB= {число 174 делится на 3 и идет дождь}.

Если высказывание Bявляется истинным, то высказывание (AB) истинно. Иначе, еслиBложно, то и (AB) ложно.

4. AB= {если число 174 делится на 3, то идет дождь}.

Высказывание (AB) ложно только в случае, когда высказываниеBложно.

5.  AB= {если число 174 не делится на 3, то идет дождь}.

Данное высказывание истинно.

6. AB= {число 174 делится на 3 тогда и только тогда, когда не идет дождь}.

Так как высказывание Aистинно, то (AB) будет истинным в случае, когда высказываниеBистинно (или высказываниеBложно). Таким образом, сложное высказывание (AB) истинно, еслиBложно.

Пример 2:

Выпишите все подформулы формулы

F= ((A₀A₁)(A₁A₂))A₀.

Решение:

Для решения примера воспользуемся определением:

Подформулой формулы A называется любое подсловоA, само являющееся формулой.

Вначале выписываем все высказывательные переменные, затем отрицания высказывательных переменных и далее логические выражения:

1. A₀;

2. A₁;

3. A₂;

4.  A₀,

5. (A₀A₁);

6. (A₁A₂);

7. (A₀A₁) (A₁A₂).

Пример 3:

Для формулы F=(A₁A₂)(A₁A₂) составьте таблицы истинности. Определите, является данная формула тождественно истинной, выполнимой или невыполнимой.

Решение:

Расставим приоритеты логических операций:

^{1 3 2}

(A₁A₂)(A₁A₂) ,

таблица истинности будет иметь следующий вид:

Таблица истинности

A1	A2	 A1	 A2	1	2	3
0	0	1	1	1	1	1
0	1	1	0	1	1	1
1	0	0	1	1	0	0
1	1	0	0	0	1	0

Данная формула алгебры высказываний является выполнимой, так как принимает значение “истина” при двух наборах списка переменных.

4.2 Равносильные преобразования формул логики высказываний

Пример 1:

Пользуясь основными равносильностями логики высказываний, проверить, являются ли формулы F₁ и F₂равносильными (перечислите все используемые законы равносильности):

и .

Решение:

Преобразуем первую формулу, для этого воспользуемся основными законами равносильности логики высказываний (п.3.1.2).

1. Заменим операцию импликации с помощью закона:

, тогда формулаF₁:

2. Применим закон де Моргана:

, получим следующее преобразованиеF₁:

3. Воспользуемся законом идемпотентности:

, тогда F₁принимает следующий вид:

Таким образом, доказано, что

Пример 2:

Записать формулу в ДНФ и КНФ:

Решение:

Построим ДНФ по алгоритму, предложенному в п.3.2.2.

1. Заменяем импликацию: .

2. Вносим знак отрицания применяя закон де Моргана и закон идемпотентности получаем:.

3)Преобразуем выражение с применением законов идемпотентности и поглощения:

.

Формула в силу транзитивности отношенияи записана в ДНФ и КНФ.