3.3. Непрерывное распределение вероятностей.

Как указано в п. 3.1., непрерывной называется такая СВ, множество значений которой несчетно и не включает изолированных значений, другими словами, значения непрерывной СВ плотно заполняют интервал или систему интервалов. Как указано в п. 3.2, определение функции распределения справедливо и для непрерывной СВ: это зависимость

(3.3.1)

вероятности попадания СВ в интервал от правого края интервала.

Некоторые из свойств функции распределения, установленных для дискретных СВ, сохраняют свою силу и для непрерывных СВ (см. доказательства в п. 3.2):

1) 0F(x)1;

2);

3) F()=1;

4) F(x) не убывает всюду на действительной оси;

5) P(x₁<Xx₂)=F(x₂)-F(x₁).

Дадим теперь строгое определение непрерывной СВ и непрерывного распределения: СВ называется непрерывной, если ее функция распределения F(x) непрерывна всюду на оси, т. е. если F(x₁)F(x₂) при x₁x₂ .

С учетом данного определения и свойства 5) имеем:

P(x)=F(x)-F(x)=0, при любом x,

(3.3.2)

т. е. вероятность того, что непрерывная СВ примет конкретное значение, равна нулю. Это утверждение кажется на первый взгляд парадоксальным, ведь оно относится не только к таким х, которые не входят в множество значений СВ, но и к принимаемым ею значениям. В последнем случае нулевую вероятность имеет возможное значение! Именно это понятие о событии «возможном, но имеющем нулевую вероятность» и кажется парадоксальным. В действительности оно не более парадоксально, чем представление о теле, имеющем определенную массу, в то время как ни одна из точек внутри тела конечной массой не обладает. Малый объем, выделенный из тела, обладает конечной массой; эта масса приближается к нулю по мере уменьшения объема и в пределе равна нулю для точки. Аналогично в непрерывном распределении вероятность попадания СВ на малый участок может быть конечной, но вероятность попадания в строго определенную точку равна нулю. В случайном эксперименте непрерывная СВ примет одно из своих значений, тогда как до эксперимента вероятность точно этого значения была равна нулю. «Секрет» раскрывается просто: из того, что вероятность события равна нулю, вовсе не следует, что это событие не будет происходить, т. е. что частота этого события равна нулю. Из свойства сходимости частот (см. п. 2.5) следует лишь, что при большом числе опытов частота события приближается к вероятности, но не равна ей. Из того, что вероятность события равна нулю, следует лишь, что при неограниченном повторении опыта это событие будет появляться сколь угодно редко. Кажущееся повторение значений непрерывной СВ в реальных экспериментах объясняется тем, что на практике эти значения всегда измеряются с ошибкой, поэтому «повторение» значений суть лишь попадание их в некоторый малый интервал, а не полное совпадение. Из свойства (3.3.2) следует, что , и, следовательно, для непрерывной СВ, кроме (3.3.1), справедливо и равенство

F(x)=P(X<x).

(3.3.1’)

Из свойства 5) вытекает еще одно свойство функции F(x):

6) если между x₁ и x₂ нет значений СВ, то F(x) постоянна на [x₁, x₂].

Таким образом, кривая функции F(x) начинается со значения F(=0, возрастает в точках значений СВ и постоянна на интервалах, где отсутствуют значения СВ, заканчивается значением F()=1. Пример кривой функции распределения приведен на рис. 3.3.1.

Рисунок 3.3.1.

Определение (3.3.1) связывает функцию распределения F(x) с вероятностью «попадания» СВ в полубесконечный интервал. В этом смысле F(x) можно назвать интегральной характеристикой СВ. Для дискретной СВ, кроме того, существует еще и локальная характеристика - ряд распределения (см. п. 3.3.2), относящаяся к вероятности «попадания» СВ в точку. Для непрерывной СВ вероятность «попадания» в точку равна нулю, поэтому локальная характеристика должна строиться по-другому. Поделим вероятность «попадания» непрерывной СВ в интервал на длинуэтого интервала и назовем это отношениесредней вероятностью на единицу длины на этом интервале. Согласно свойству 5) и с учетом (3.3.1’) это отношение равно

.

Устремив к нулю, найдемвероятность на единицу длины в окрестности точки х:

.

Если при заданном х этот предел существует, то он равен производной F’(x). Из непрерывности F(x) вовсе не следует ее дифференцируемость, более того, математика знает непрерывные функции, не дифференцируемые ни в одной точке (!). Однако при практическом применении теории вероятности можно предположить, что F(x) дифференцируема всюду, кроме дискретного множества точек. Таким образом имеем

Определение: Для непрерывной СВ функция

f(x)=,

(3.3.3)

называется плотностью вероятности этой СВ.

Как мы установили, f(x) имеет смысл вероятности на единицу длины в окрестности точки х и, по предположению, определена и конечна всюду, кроме, может быть, дискретного множества точек.

Рассмотрим непрерывную СВ Х с плотностью вероятности f(x) и элементарный участок dx, примыкающий к точке х. Вероятность «попадания» Х на этот участок, равная, согласно определению плотности вероятности, f(x)dx, называется элементом вероятности. Теперь очевидно, что вероятность попадания СВ Х на произвольный интервал равна

P(a<X<b)=,

(3.3.4)

то есть интегралу от плотности вероятности этой СВ по данному интервалу, или, с геометрической точки зрения, площади криволинейной трапеции, опирающейся на данный интервал.

Заметим, что теперь мы располагаем двумя способами вычисления вероятности «попадания» СВ в заданный интервал. Первый - с помощью функции распределения:

P(a<X<b)=F(b)-F(a),

(3.3.5)

вытекающий из свойства 5) функции распределения и означающий, что вероятность «попадания» СВ в интервал равна приращению функции распределения на этом интервале. Второй - с помощью плотности вероятности - по формуле (3.3.4). Нетрудно видеть, что эти способы эквивалентны, т. к. вытекающее из (3.3.4) и (3.3.5) равенство их правых частей есть известное тождество Ньютона-Лейбница.

Положив в (3.3.4) ,b=x, и используя определение F(x), имеем:

F(x)=P(-,

(3.3.6)

или, с геометрической точки зрения, функция распределения в точке х равна площади под кривой плотности вероятности левее этой точки. Заметим, что (3.3.3) выражает плотность вероятности через функцию распределения, в то время как (3.3.6) - функцию распределения через плотность вероятности. Смысл этих равенств прост: f(x) есть производная от F(x), а F(x) есть первообразная от f(x). Теперь понятно, почему иногда f(x) называют дифференциальным законом распределения, а F(x) - интегральным законом распределения.

Положив в (3.3.4) , и учтя, чтокак вероятность достоверного события, имеем

.

(3.3.7)

Это важное свойство, как и эквивалентное ему свойство (см. свойство 3)), называется условием нормировки. Его вероятностный смысл: вероятность «попадания» СВ куда-либо на вещественной оси равна единице, его геометрический смысл: площадь под кривой плотности вероятности равна единице.

Зададимся вопросом: какой минимальный набор свойств должна иметь вещественная функция f(x), чтобы она могла быть плотностью вероятности какой-то непрерывной СВ? Этих свойств два: 1) f(x)всюду на оси; это следует из того, что f(x) - вероятность на единицу длины в окрестности х, или, что эквивалентно, из того, что F(x) всюду не убывает. 2) Несобственный интеграл в (3.3.7) сходится и равен единице. Геометрически указанный набор свойств означает, что: 1) кривая плотности вероятности лежит не ниже оси абсцисс; 2) площадь под кривой f(x) равна единице.

Важно подчеркнуть, что плотность вероятности не обязана быть всюду ограниченной (она может не существовать или быть неограниченной в счетном числе точек), или всюду непрерывной (она может иметь разрыв в любом числе точек).

Таким образом, и для непрерывной СВ имеются две характеристики распределения: интегральная характеристика F(x) и локальная характеристика f(x). Поскольку они связаны однозначными зависимостями (3.3.3) и (3.3.6), они несут одинаковую информацию о свойствах конкретной СВ, а использование той или другой - дело удобства.

Выясним размерность величин f и F. Заметим сначала, что СВ может быть как безразмерной, так и иметь различные размерности, например, метры, килограммы, фарады, амперы и т. д. Величина F всегда безразмерна, как имеющая смысл вероятности. Величина f имеет размерность, обратную размерности соответствующей СВ; это следует и из смысла f как вероятности на единицу длины на оси абсцисс, и, формально, из того, что f(x) - производная от F(x).

На рис. 3.3.2 а), b), c), d), e), g) приведены примеры качественно различных распределений.

a) b)

c) d)

e) g)

Рисунок 3.3.2: a), b), c), d), e), g).

Упражнение 3.3.1. Путем приближенного графического интегрирования постройте функции распределений, представленных на рис. 3.3.2. Убедитесь, что выполняются все необходимые свойства функций распределения.