3. Случайные величины и распределения вероятностей.

3.1. Понятие случайной величины (св).

Понятие случайной величины - одно из важнейших в теории вероятностей. Случайной величиной называется величина, которая в случайном эксперименте принимает одно из множества значений, причем заранее не ясно, какое именно. СВ определена, если заданы множество ее значений и вероятностная характеристика (см. пп. 3.2., 3.3.). Множество значений СВ может быть конечным, бесконечным счетным или бесконечным несчетным. Конечное множество, по определению, состоит из одного или конечного числа элементов (в данном случае - чисел). Бесконечное счетное множество, по определению, таково, что можно пронумеровать его элементы, точнее - предложить систему их нумерации. Следовательно, любое бесконечное счетное множество изоморфно множеству натуральных чисел, т. е. можно установить взаимно-однозначное соответствие межу элементами этих двух множеств. Отсюда следует структура бесконечного счетного множества: это множество изолированных точек на числовой прямой. Все бесконечные счетные множества изоморфны друг другу, т. к. они изоморфны одному множеству целых чисел, и в этом смысле имеют одну и ту же структуру. Конечное множество также счетно, т. к. возможность нумерации его элементов очевидна. Бесконечное несчетное множество, по определению, таково, что не существует системы нумерации его элементов. Примером такого множества является набор чисел на конечном интервале числовой оси (а тем более - на бесконечном интервале). Структуры бесконечных счетного и несчетного множеств принципиально отличаются. Для целей данного курса бесконечное несчетное множество чисел можно упрощенно представлять себе как набор точек, плотно заполняющих интервал или систему интервалов на числовой оси, плюс, может быть, включающий конечное или бесконечное число изолированных точек.

Типологически СВ различаются в зависимости от структуры и конкретных особенностей множества значений. Наиболее важно следующее разделение СВ на три типа. Если множество значений СВ счетно, то она называется дискретной. Число значений дискретной СВ может быть конечным или бесконечным. Если множество значений несчетно и не включает изолированных значений, СВ называется непрерывной; упрощенно можно представлять себе, что ее значения плотно заполняют интервал или систему интервалов. Наконец, если множество значений несчетно и включает также некоторое число (конечное или бесконечное) изолированных значений, то СВ называется смешанной.

Полезно также выделить некоторые специальные виды СВ, связанные с конкретными особенностями множества значений: целочисленные СВ (все их значения - целые числа); СВ с равноотстоящими значениями; ограниченные снизу СВ (их значения не меньше некоторого конечного числа); ограниченные сверху СВ (их значения не превышают некоторого конечного числа); понятно, что по признаку ограниченности может быть четыре вида СВ: неограниченные, ограниченные только снизу, ограниченные только сверху, ограниченные с обеих сторон; среди ограниченных снизу СВ отметим неотрицательные СВ (их значения неотрицательны), среди ограниченных сверху - неположительные СВ (их значения неположительны). Среди дискретных СВ полезно обратить внимание на СВ с одним единственным значением. Это ничто иное как детерминированная величина, принимающая в соответствующем эксперименте заранее заданное значение с вероятностью 1. Формальное включение детерминированных величин в число СВ удобно для изложения и развития теории вероятностей.

Примеры СВ.

• Случайные величины при уборке картофеля: высота произвольного куста, количество клубней на нем, размер произвольного клубня, вес произвольного клубня, общий вес клубней произвольного куста, степень несферичности произвольного клубня (в специально введенной количественной шкале несферичности), полеглость произвольного куста (в специальной количественной шкале полеглости).

• Случайные величины на перроне станции метро: момент выхода на перрон произвольного пассажира, время ожидания поезда этим пассажиром, количество пассажиров на перроне в произвольный момент времени, количество пассажиров на перроне в момент прихода поезда, рост самого высокого пассажира на перроне, возраст самого молодого пассажира на перроне, суммарный вес пассажиров в произвольном вагоне поезда метро, суммарное время ожидания (в человеко-секундах) между приходами двух поездов.

• Случайные величины на опытных артиллерийских стрельбах: число попаданий при пяти выстрелах, число осколков при разрыве произвольного снаряда, абсцисса точки попадания произвольного снаряда в выбранной системе координат, расстояние от точки попадания до центра мишени, дальность полета осколка, вес наугад взятого осколка.

Упражнение 3.1.1. Для каждого приведенного примера определите тип и вид случайной величины.