Конспект лекций Глазова / 3.6. Характер. ф-ция

3.6. Характеристическая функция.

Хорошо известно, что преобразования Фурье приносят большую пользу в различных областях математики и в приложениях. Не составляет исключения и теория вероятностей. Характеристическая функция появляется в результате преобразования Фурье (ПФ) от распределения, т. е. дискретного ПФ от ряда распределения - для дискретной СВ, и непрерывного ПФ от плотности вероятности - для непрерывной СВ.

Определение: характеристической функцией непрерывного действительного аргумента v называется

, для непрерывной СВ;

, для дискретной СВ,

где i - мнимая единица. Очевидно, что в общем случае принимает комплексные значения:

, для непрерывной СВ;

, для дискретной СВ,

откуда, в частности видно, что (звездочкой обозначено комплексное сопряжение), т. к. при изменении знака v действительная часть не меняется, а мнимая часть меняет знак на обратный.

Рассматривая характеристическую функцию как прямое ПФ, и записывая обратное ПФ, находим способ определения распределения по характеристической функции, например, для непрерывной СВ

.

Характеристическая функция существует для любой СВ, т. е. интеграл и сумма в определении ограничены по модулю при любой f(x) или любом ряде распределения, и любом v. Действительно, например, для непрерывной СВ, поскольку модуль интеграла не больше интеграла от модуля, и , имеем

,

т. е. по модулю не превосходит 1, а поскольку

,

то своего максимального по модулю значения характеристическая функция достигает при v=0. Аналогичным образом те же свойства доказываются для дискретного распределения. Из представления в виде действительной и мнимой частей следует, что при симметричном относительно x=0 распределении (четном) характеристическая функция действительна.

Аппарат характеристических функций широко используется в теории вероятностей при нахождении распределений случайных величин, являющихся функциями других СВ, при доказательстве т. н. предельных теорем, при вычислении моментов и в других случаях. Например, для непрерывной СВ, k раз дифференцируя по v равенство в определении , получаем

.

При v=0 интеграл дает начальный момент и мы получаем формулу

,

справедливую, как легко показать, и для дискретных СВ, с помощью которой можно вычислять начальные моменты дифференцированием характеристической функции в нуле. Более того, теперь нет необходимости убеждаться в существовании момента путем проверки сходимости соответствующего интеграла (для непрерывных СВ) или суммы (для дискретных СВ), достаточно убедиться в существовании соответствующей производной.