Конспект лекций Глазова / 2.7-2.9 Геом вер, зав соб, вер произ

2. 7. Геометрические вероятности.

В формуле (2.6.1) m, n - конечные целые числа, и она принципиально не применима, если они бесконечны, и, тем более, - несчетны. Такого рода ситуации, где мы сталкиваемся с полной группой несчетного числа равновозможных несовместных событий, возникают, в частности, в задачах на геометрические вероятности. Пусть случайная точка обязательно попадает в область D n-мерного пространства (n=1, 2, ...) и вероятность попадания точки в любую часть области D пропорциональна мере этой части (длине, площади, объему и т. д.). Если событие А состоит в попадании точки в подобласть В_АD, то вероятность события А определяется как

Р(А)=,

(2.7.1)

где S_A - мера подобласти B_A, S_D - мера области D.

Пример 2.7.1. В точке С, положение которой на телефонной линии АВ длины L равновозможно, произошел разрыв. Найти вероятность того, что т. С удалена от т. А на расстояние, большее R (R<L). Решение: здесь области одномерны, их мера - длина; мера подобласти, благоприятствующей искомому событию, равна L-R, искомая вероятность

Р=.

Пример 2.7.2. Точка М находится где-то в круге радиуса R, причем ее положение в любом месте круга равновероятно. Найти вероятность того, что т. М находится в круге радиуса R/2 , концентричном первому. Решение: здесь области двумерны, мера задается площадью. Искомая вероятность равна отношению площадей кругов:

Р==.

Следует заметить, что при определении вероятности по формуле (2.7.1) форма и расположение благоприятствующей подобласти не имеют значения.

2.8. Зависимые и независимые события.

Мы уже сталкивались с примерами связи между случайными событиями: во-первых, случайная величина может быть эквивалентна алгебраическому выражению от других величин, например, А=В+С, и в этом смысле быть с ними связана; во-вторых, случайная величина может влечь другую величину, т. е. АВ, и этим быть связана с ней. Оба эти вида связи аналогичны причинно-следственным связям детерминистских моделей (см. п. 1); в стохастических моделях связь событий необязательно столь «жесткая» и в общем случае (включая и названные) выражается в том, что вероятности одних событий зависят от того, совершились или нет другие события.

Введем важное понятие: пусть имеются случайные события А, В и известно, что событие В совершилось; тогда вероятность А называется условной вероятностью совершения А при условии, что В совершилось, и обозначается Р(А/В). Аналогичный смысл имеет условная вероятность Р(В/А). Если, наоборот, известно, что В не совершилось, то вероятность совершения А при этом условии запишется как Р(А/); аналогичный смысл имеет условная вероятность Р(В/). Т. о. по отношению к событию А может быть одна из трех ситуаций:

а) известно, что В совершилось; тогда А выполняется с вероятностью Р(А/В);

б) известно, что В не совершилось; тогда А имеет вероятность Р(А/);

в) о совершения В ничего не известно; тогда А имеет вероятность Р(А).

Аналогично, по отношению к событию В также может быть одна из трех ситуаций и В выполняется с вероятностью Р(В/А), Р(В/), Р(В), соответственно. Иногда, во избежание недоразумений, вероятности вида Р(А), Р(В) называют безусловными. Не следует путать Р(А/В) и Р(В/А): вероятность относится к «числителю», «знаменатель» указывает совершившееся событие.

Определение: событие А называется зависимым от события В, если вероятность совершения события А зависит от того, совершилось событие В или нет. В противном случае событие А называется независимым от события В. Другими словами, если Р(А), Р(А/В), Р(А/) различны, то А зависит от В, если Р(А)=Р(А/В)=Р(А/), то А не зависит от В. Практически достаточно сравнивать Р(А) и Р(А/В), т. к. равенство или неравенство им величины Р(А/) выполняется автоматически.

Упражнение 2.8.1. Объясните смысл вероятностей Р(/В), Р(/), Р(/А), Р(/).

Если В совершилось, то совершение А при этом условии влечет АВ; поэтому не удивительно, что условная вероятность Р(А/В) выражается через безусловные вероятности Р(В), Р(АВ). Это выражение имеет вид

Р(А/В)=, Р(В)0.

(2.8.1)

Докажем это равенство для схемы случаев. Пусть n - общее число случаев, k, s, r числа случаев, благоприятствующих событиям А, В, АВ, соответственно, причем группа из r случаев есть подгруппа как группы из k случаев, так и группы из s случаев, так что rk, rs. Тогда Р(А)=k/n , P(B)=s/n , P(AB)=r/n . Если В осуществилось, то выполнился один из s случаев, и с точки зрения выполнения А эти случаи составляют полную группу «всех» случаев, а r из них играют роль «благоприятствующих», поэтому Р(А/В)=r/s . Теперь находим

Р(А/В)=, s0 (P(B)0),

ч. т. д.

Упражнение 2.8.2. Докажите то же самое для схемы с геометрическими вероятностями.

В группе с более чем двумя событиями отношения зависимости-независимости носят более сложный характер: кроме парных существуют отношения «событие - несколько событий», регулируемые условными вероятностями вида Р(А/ВС), Р(А/С), Р(А/ВСF) и т. п. Поэтому, в частности, в общем случае для независимости событий в группе недостаточно попарной независимости всех событий.

Определение: события в группе называются независимыми, если все условные вероятности равны соответствующим безусловным.

2.9. Вероятность произведения событий.

Многие задачи теории вероятностей состоят в том, чтобы, зная, как связаны события, найти, как связаны их вероятности; другими словами, как находить вероятности алгебраических выражений от событий? Для этого сначала следует найти вероятности исходных выражений: произведения, суммы и инверсии событий.

Из (2.8.1) следует

Р(АВ)=Р(В) Р(А/В).

(2.9.1.а)

Поменяв в (2.8.1) события местами, найдем: Р(В/А)=Р(АВ)/Р(А) (Р(А)0), откуда

Р(АВ)=Р(А) Р(В/А).

(2.9.1.б)

Обе формулы охватываются одной формулировкой: вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, при условии, что первое совершилось. Хотя мы доказали формулу (2.8.1) только для схемы случаев и схемы геометрических вероятностей, формулы (2.9.1) справедливы всегда: при любых событиях А, В, любых видах их связи и вне зависимости от применимости тех или иных схем. Добавим, что этими формулами можно формально пользоваться и тогда, когда Р(А)=0 или Р(В)=0, т. к., хотя в этих случаях Р(В/А) или Р(А/В) не имеют смысла, правые части формул дают правильный результат 0.

Следствие 1. Если А не зависит от В, то и В не зависит от А; другими словами, независимость двух случайных событий взаимна. Доказательство: поскольку левые части в (2.9.1.а) и (2.9.1.б) одинаковы, приравняем правые части:

Р(А) Р(В/А)=Р(В) Р(А/В).

(2.9.2)

Пусть А не зависит от В, тогда Р(А/В)=Р(А); подставляя это равенство в (2.9.2) и сокращая на Р(А) (Р(А)0), получаем Р(В/А)=0, т. е. В не зависит от А, ч. т. д.

От противного легко доказываем, что и зависимость случайных событий взаимна.

Обобщение формул (2.9.1). В случае любого конечного числа событий n2 вероятность их произведения (без доказательства)

Р(АВC...FG)=P(A)P(B/A)P(C/AB)...P(F/AB...)P(G/AB...F).

(2.9.3)

Левая часть (2.9.3) не зависит от порядка сомножителей, поэтому и в правой части «числители» можно взять в произвольном порядке (а «знаменатель» должен быть произведением всех событий, предшествующих в данном порядке «числителю»), таким образом, правую часть можно записать в n! вариантах.

Следствие 2. Если все события в группе А, В, С,...F, G независимы, то все условные вероятности в правой части (2.9.3) равны соответствующим безусловным вероятностям и

P(ABC...FG)=P(A)P(B)...P(F)P(G),

т. е. вероятность произведения независимых событий равна произведению их безусловных вероятностей.

Пример 2.9.1. В урне 2 белых и 3 черных шара, наугад вынимаются два шара (подряд или сразу); какова вероятность, что оба шара белые? Решение: обозначим А - «первый шар - белый», В - «второй шар белый». Методом непосредственного расчета вероятностей находим:

Р(А)=2/5, Р(В/А)=1/4, тогда Р(АВ)=Р(А) Р(В/А)=(2/5)(1/4)=1/10.