Конспект лекций Глазова / 2.15. Контр вопр к п. 2

2.15. Контрольные вопросы

к п. 2. «Случайные события и вероятности».

1. Что такое случайный эксперимент?

2. Что такое случайные события?

3. Приведите примеры случайных событий.

4. Как обозначается математически и что означает сообщение, что событие А влечет событие В?

5. Дайте определение эквивалентных событий.

6. Дайте определение достоверного, невозможного, практически достоверного и практически невозможного событий.

7. Дайте определения двух несовместных и двух совместных событий.

8. Дайте определение полной группы событий.

9. Что такое группа несовместных событий?

10. Каковы свойства группы из двух противоположных событий?

11. Перечислите и дайте определения операциям над событиями.

12. Назовите свойства операций над событиями.

13. Чему равно произведение нескольких эквивалентных событий?

14. Чему равна сумма нескольких эквивалентных событий?

15. Запишите тождества, отражающие свойства операций над достоверным и невозможным событиями.

16. Что такое алгебраическое выражение от событий? Могут ли в нем присутствовать числа, показатели степени, коэффициенты? Если нет - то почему?

17. Запишите два тождества Де Моргана и сформулируйте принцип Де Моргана.

18. С помощью геометрической интерпретации событий покажите области выражений , и путем сравнения этих областей проиллюстрируйте тождества Де Моргана.

19. Что такое вероятность события? В чем состоят аксиоматический подход к определению этого понятия и подход, использующий понятия серии опытов, частоты события, последовательности частот, устойчивости частот?

20. Каковы пределы для вероятности события и как называются события, соответствующие предельным значениям вероятности?

21. Дайте определение несовместности двух событий, исходя из вероятности их произведения.

22. Дайте определение полноты группы, исходя из вероятности суммы входящих в нее событий.

23. Дайте определение ситуации, называемой схемой случаев. Каким обязательным требованиям удовлетворяют в этой ситуации события, называемые случаями?

24. В чем состоит метод непосредственного расчета вероятности? Напишите соответствующую формулу и поясните смысл входящих в нее букв.

25. Что такое геометрические вероятности? При каком условии справедлива простая формула для расчета геометрической вероятности? Напишите эту формулу и поясните входящие в нее буквы.

26. Объясните смысл и приведите обозначение условной вероятности. В чем разница ситуаций, соответствующих условной и безусловной вероятностям?

27. Дайте определения зависимости и независимости одной случайной величины от другой.

28. Как условная вероятность Р(А) выражается через безусловные вероятности Р(В), Р(АВ)?

29. Дайте определение группы независимых событий. Достаточно ли для этого попарной независимости событий в группе?

30. Напишите в двух видах общую формулу для вероятности произведения двух событий и дайте единую словесную интерпретацию этой формулы.

31. В чем заключаются и откуда следуют взаимность зависимости и взаимность независимости двух событий?

32. Напишите общую формулу для вероятности произведения произвольного числа событий. Сколько вариантов формулы справедливы при n сомножителях?

33. Напишите формулу для вероятности произведения произвольного числа независимых событий и дайте ей словесную интерпретацию. За счет чего произошло упрощение общей формулы в этом частном случае?

34. Напишите общую формулу для вероятности суммы двух событий и дайте ей словесную интерпретацию. Поясните смысл формулы с помощью геометрической интерпретации событий.

35. В чем состоит способ рекуррентного вывода общей формулы для вероятности суммы n событий?

36. Чему равна вероятность суммы произвольного числа несовместных событий? За счет чего произошло упрощение общей формулы в этом частном случае?

37. Чему равна сумма вероятностей несовместных событий, составляющих полную группу? Дайте словесное доказательство этому свойству.

38. Какому свойству удовлетворяют вероятности противоположных событий? Дайте словесное доказательство этому свойству.

39. Напишите т. н. простую формулу для вероятности суммы независимых (но не обязательно несовместных) событий и дайте ей словесную интерпретацию.

40. Опишите ситуацию, соответствующую схеме полной вероятности. В рамках этой ситуации: что такое гипотезы, каким требованиям они удовлетворяют, чему равна сумма вероятностей гипотез?

41. Напишите формулу полной вероятности и дайте ей словесную интерпретацию. Что необходимо проверить, прежде чем применять эту формулу?

42. Что такое вклад гипотезы? Проинтерпретируйте формулу полной вероятности как сумму вкладов гипотез.

43. Применительно к схеме полной вероятности назовите и обозначьте априорные и апостериорные, условные и безусловные вероятности.

44. Напишите формулу Байеса и дайте ей словесную интерпретацию.

45. Объясните формулу Байеса как результат решения «задачи на части», в которой апостериорные вероятности гипотез пропорциональны вкладам гипотез.

46. На сколько вопросов дает ответ формула Байеса?

47. Опишите случайный эксперимент, называемый схемой последовательных независимых однородных испытаний, заодно определив, в рамках данного контекста, подчеркнутые слова.

48. Напишите биномиальную формулу, объясните смысл входящих в нее букв и дайте формуле словесную интерпретацию.

49. Почему в биномиальную формулу входит не только вероятность р совершения А в одном испытании, но и вероятность противоположного события q?

50. На сколько вопросов непосредственно отвечает биномиальная формула?

51. Какие два вида задач можно решать с помощью биномиальной формулы?

52. Как упрощается биномиальная формула при p=q=1/2?

53. Можно ли и как найти вероятности событий «во всех испытаниях А совершилось» и «ни в одном испытании А не совершилось», не прибегая к биномиальной формуле?

54. Дайте определение случайному потоку событий. Определите свойства стационарности потока, отсутствия последействия, ординарности.

55. Какой поток событий называется пуассоновским?

56. Что такое плотность ординарного потока событий? Какова размерность этой величины? Как связано временное поведение плотности потока с его стационарностью?

57. Чему равна вероятность попадания заданного числа событий на заданный интервал времени в пуассоновском потоке? Как упростится ответ в случае стационарного потока?

58. Написать формулу Пуассона и дать ей словесную интерпретацию в терминах пуассоновского потока.

59. Чему равна вероятность того, что в стационарном пуассоновском потоке на интервале длиной Т не произойдет ни одного события?