Конспект лекций Глазова / 2.5, 2.6. Понят вер, схема случ

2.5. Понятие вероятности.

Важнейшая характеристика случайного события - степень возможности его осуществления в данном случайном эксперименте. Пусть, например, А - «выпадение не менее двух гербов в серии из 10 бросаний монеты», В - «такой же результат в серии из 5 бросаний». Ясно, что степень возможности события А больше, чем события В.

Количественная оценка степени возможности совершения события дается вероятностью события. Дать строгое, логически однозначное определение понятия вероятности - непростая задача, в основном, потому, что здесь мы сталкиваемся с философскими вопросами об условиях объективного существования категории «вероятность» и ее объективном смысле. Кроме того, эта задача требует математического аппарата, выходящего за рамки втузовского курса математики. Среди существующих определений вероятности отметим два: в одном вероятности вводятся формально как некие числа, связанные с событиями, и аксиоматически устанавливается связь операций с этими числами и операций с соответствующими событиями; в другом - вероятность рассматривается как некий предел частоты события.

Пусть случайный эксперимент состоит из серии опытов, проведенных в одинаковых условиях, причем в каждом из опытов событие А может совершиться или не совершиться. Если число опытов в серии обозначить k, а число совершений события А в этой серии - s, то частотой события А в данном эксперименте называется отношение

Р*(A)= .

(2.5.1)

Очевидно, что если снова проделать серию из k опытов в тех же условиях, то частота события А может получиться другой. Если проделывать все более длинные серии опытов, т. е. увеличивать k, то получим последовательность значений

при k₁<k₂<k₃<...,

которая, как интуитивно кажется, сходится в некотором смысле к определенному числу, называемому вероятностью P(A) события А (природа сходимости случайной последовательности отлична от сходимости детерминированной числовой последовательности и обсуждается в п. 7.1). Наличие сходимости частот при бесконечном увеличении серии испытаний называется устойчивостью частот события. Свойство устойчивости частот базируется не только на интуиции, но многократно подтверждалось экспериментально и не противоречит всему опыту человечества. При определенных условиях это свойство доказывается математически (закон больших чисел, см. п.п. 7.4 - 7.6). Далее будем считать, что каждое упоминаемое нами событие имеет определенную (хотя, может быть, неизвестную) вероятность.

Из определения вероятности следует, что это величина, находящаяся в пределах

.

При этом невозможное событие имеет Р=0, достоверное - Р=1, практически невозможное - Р<<1, практически достоверное - 1-Р<<1. В качестве упражнения, используем понятие вероятности, чтобы по другому определить несовместность событий и полноту группы: два события несовместны, если вероятность их произведения равна нулю; группа событий полна, если вероятность их суммы равна единице.

2.6. Схема случаев и непосредственный расчет вероятности.

Приведенное выше определение вероятности не дает способа ее доопытного (априорного) вычисления. В то же время вероятность данного события - объективно существующая характеристика, независимо от того, проделываем ли мы серию опытов, или нет. Существует, однако, класс ситуаций, для которого можно дать четкое, прозрачное и объективное определение понятия вероятности, причем это определение одновременно дает способ практического вычисления вероятности.

Пусть имеется группа из событий, обладающих следующими свойствами:

1. данная группа полна, т. е. по меньшей мере одно из этих событий обязательно осуществляется в данном случайном эксперименте;

2. эти события несовместны, т. е. невозможно осуществление любых двух из них в одном эксперименте; заметим, что сочетание свойств 1, 2 означает, что в каждом эксперименте осуществится ровно одно событие;

3. эти события равновозможны, т. е. их вероятности одинаковы; события, удовлетворяющие свойствам 1-3, называются случаями, а сама ситуация - схемой случаев;

4. имеется некое событие А, которое связано со случаями следующим «жестким» образом: часть случаев влечет А (эти случаи называются благоприятствующими событию А), остальные влекут (эти случаи называются не благоприятствующими событию А); «жесткость» связи А со случаями выражается тем, что нет случаев, при совершении которых А может совершиться, а может и не совершиться, другими словами, при совершении случая одного вида А обязательно осуществляется, а при совершении случая другого вида А обязательно не осуществляется; как мы увидим в дальнейшем, возможны схемы с более мягкой связью некоторого события с группой других событий.

Оказывается, что при выполнении всех свойств 1-4 вероятность события А равна

Р(А)=,

(2.6.1)

где m - число благоприятствующих случаев, n - общее число случаев. Мы примем этот результат без доказательства. Расчет вероятности по формуле (2.6.1) называется методом непосредственного расчета вероятности. Формулу (2.6.1) не следует путать с формулой (2.5.1), имеющей другой смысл.

Упражнение 2.6.1. Игральный кубик бросается 1 раз. Какова вероятность, что выпадет четное число? Решение: обозначим А - «выпадение четного числа», А_k - «выпадение числа k», k=1, 2,...,6; события А_k составляют полную группу несовместных равновозможных событий, т. е. являются случаями, они «правильно» связаны с А: А₂, А₄, А₆ - благоприятствующие, остальные - не благоприятствующие; всего случаев n=6, благоприятствующих - 3, Р(А)=3/6=1/2.

Упражнение 2.6.2. Игральный кубик бросается 2 раза. Какова вероятность, что сумма выпавших чисел равна 4? Решение: обозначим А - «сумма выпавших чисел равна 4»; рассмотрим как события всевозможные пары чисел (k, s), k=1,...,6, s=1...6; всего пар n=66=36; все свойства 1-4 выполнены; благоприятствующих случаев m=3: это пары (1, 3), (2, 2), (3, 1); находим Р(А)=3/36=1/12.

Практически ценно, если в рассматриваемой ситуации равновозможность событий следует не из сравнения вероятностей, а из соображений симметрии, как это было в приведенных упражнениях. Заметим, что при использовании метода непосредственного расчета вероятностей проверка выполнения свойств 1-4 обязательна при решении каждой задачи; если хотя бы одно из этих свойств не выполняется, метод может дать неверный результат.

Упражнение 2.6.3. Приведите пример группы событий, в которой не выполняются: а) свойство 1; б) свойство 2; в) свойство 3; г) свойства 1, 2; д) свойства 1, 3; е) свойства 2, 3; ж) «неправильна» связь события А со случаями.