Конспект лекций Глазова / 3.7. Некоторые дискр. распр

3.7. Некоторые дискретные распределения.

В теории вероятностей и ее применениях встречается большое число различных распределений. Мы кратко рассмотрим лишь некоторые из них. Примеры простейших распределений приведены в п. 3.1.

• Распределение детерминированной величины. Пусть имеется детерминированная величина а . Рассматривая ее как случайную величину X=a с одним значением, имеем дискретную СВ. Ее ряд распределения

xi	a
pi	1

был приведен в п. 3.1. Функция распределения имеет вид

F(x)=

(обосновать самостоятельно). Характеристическая функция равна

e^iva

(вывести самостоятельно). Моменты найдем двумя способами: первым, непосредственно по определению:

,

;

вторым способом, из характеристической функции, получить то же самостоятельно. В частности, имеем:

,

отсюда видим, что коэффициенты асимметрии k_as , k_ex - не определены.

• Пусть в некотором опыте может получиться один из двух взаимоисключающих результатов с одинаковыми вероятностями (например, бросание монеты с результатами «герб» и «решетка»). Ясно, что каждая вероятность равна 0.5. Характеристическая СВ (см. п. 3.1) X имеет ряд распределения

xi	0	1
pi	0.5	0.5

Начальные моменты, по определению

,

в частности, m_x=0.5,

центральные моменты

=[(-1)^k+1]0.5,

т. е. =0 при нечетном k и =1 - при четном k.

Упражнение 3.7.1. Найти характеристическую функцию, из нее найти начальные моменты первых двух порядков, по ним найти дисперсию.

• Распределение Бернулли. Это небольшое обобщение предыдущего распределения: X принимает значение 1 с вероятностью р и значение 0 - с вероятностью 1-р . Ряд распределения имеет вид

xi	0	1
pi	1-р	р

Самостоятельно убедиться, что функция распределения

F(x)=

характеристическая функция

1+p(e^iv-1),

моменты

Распределение Бернулли играет фундаментальную роль в теории вероятностей и математической статистике.

• Равномерное дискретное распределение. Это распределение дискретной СВ, имеющей значения x_k=bk, b>0, k=1, 2, ..., N, N>1, и одинаковые вероятности p_k=1/N. Кроме применения этого распределения как точного, его иногда принимают как приближенное в моделях с эквидистантными значениями и неизвестными вероятностями. Особое значение, например, в информатике и цифровой связи, имеет целочисленный вариант этого распределения (b=1).

  Упражнение 3.7.2. Найти общее выражение для начальных моментов целочисленного равномерного дискретного распределения и его дисперсию.

• Геометрическое распределение. Это дискретное целочисленное распределение со значениями x_k=k и вероятностями p_k=p(1-p)^k-1, k=1, 2, ..., 0<p<1. Единственный параметр этого распределения в приложениях имеет смысл некой вероятности. Геометрическое распределение часто встречается в приложениях. В частности, в схеме последовательных независимых испытаний (см. п. 2.13) такое распределение имеет СВ X: «число испытаний до первого «успеха»».

  Упражнение 3.7.3. Проверить условие нормировки геометрического распределения. Убедиться, что m=1/p, D=(1-p)/p².

• Биномиальное распределение. Это распределение целочисленной дискретной СВ, имеющей значения x_k=k, k=0, 1, 2, ..., n, n>0, и вероятности, задаваемые биномиальной формулой (2.13.1):

, q=1-p, k=0, 1, ..., n, n>0.

(3.7.1)

Как видим, это класс распределений с двумя параметрами: n и р . При p=q=1/2 распределение упрощается:

.

Чтобы избежать вычисления сумм, получим характеристическую функцию

,

и первые два момента

m=np, D=npq,

в дальнейшем, используя свойства распределения Бернулли.

Для некоторых распределений существуют рекуррентные соотношения между моментами различного порядка, облегчающие вычисление моментов. Чтобы проиллюстрировать их роль, дадим без вывода рекуррентное соотношение между центральными моментами для биномиального распределения:

(при дифференцировании полагать q=1-p).

Учитывая, что , при k=1 получаем

;

при k=2:

;

при k=3, действуя аналогичным образом, получаем:

3n²p²q²+npq(1-6pq);

отсюда

,

,

в частности, при , что, как станет ясным в дальнейшем, есть следствие стремления биномиального распределения к т. н. нормальному распределению при .

Биномиальное распределение часто появляется в разнообразных приложениях теории вероятностей, например, при фотоэлектрическом детектировании света, регистрации космических частиц и т. д.

• Отрицательно-биномиальное распределение. Это целочисленное дискретное распределение со значениями x_k=0, 1, 2, ...и вероятностями

  , q=1-p, 0<p<1, k=0, 1, 2, ...

  где s>0 - вещественное (не обязательно целое), - гамма-функция. На самом деле это класс распределений с двумя параметрами: p, s. Поскольку при целых аргументах гамма-функция переходит в факториал: , при целом s>0 отрицательно-биномиальное распределение переходит в распределение Паскаля:

  , k=0, 1, 2, ..., s=1, 2, ...

  Приведем без вывода два момента распределения Паскаля:

  m=sqp^-1 , D=sqp^-2.

  Одно из применений распределения Паскаля состоит в следующем: пусть проводятся последовательные независимые испытания события А с вероятностью совершения в одном испытании р до получения ровно s совершений; тогда число несовершений имеет распределение Паскаля.

  Упражнение. Сколько в среднем раз нужно бросать игральный кубик до получения пяти цифр 6 ? Решение: Найдем сначала среднее число «неудач», т. е. математическое ожидание распределения Паскаля при s=5 и р=1/6 : m=sqp^-1=5(1-1/6)6=25. Прибавив число «успехов» 5, получаем результат: 30. Т. о., серии испытаний до появления пяти шестерок будут иметь случайную «длину», средняя «длина» - 30 испытаний.

• Распределение Пуассона. Определение. Так называется распределение целочисленной дискретной СВ, принимающей бесконечное число значений x_k=k, k=0, 1, 2, ..., с вероятностями, задаваемыми формулой Пуассона (2.14.2):

, k=0, 1, 2, ..., >0.

Это класс распределений с одним параметром . Характеристическая функция

.

Поучительно получить моменты тремя разными способами: первый, непосредственно по определению, дает:

,

аналогичными способами находим

,

и отсюда

D=.

Второй способ - по рекуррентным соотношениям. Эти соотношения имеют вид (без вывода): для начальных моментов

, k=0, 1, 2, ...,

для центральных моментов

, k=1, 2, 3, ...

Учитывая, что , находим:

при k=0

,

при k=1

,

при k=2

,

при k=1

,

при k=2

,

при k=3

.

Третий способ - по характеристической функции (самостоятельно найти этим способом m, , а по ним - D).

По найденным моментам находим:

,

.

Тот факт, что при , объясняется стремлением распределения Пуассона к нормальному распределению при (см. п. 7.9).

Распределение Пуассона - важнейшее из дискретных распределений. Оно встречается в большом числе приложений как точное или как приближенное распределение, и имеет ряд замечательных математических свойств.

Как точное распределение оно, в частности, возникает, при определенных условиях, как распределение случайного числа точек в фиксированной области евклидова пространства - в интервале времени, на отрезке прямой, в области на плоскости или на поверхности, в области трехмерного или многомерного пространства. При этом параметр распределения равен

,

где интеграл берется по некоторой области V, - т. н. плотность точек в области V, т. е. среднее число точек на единицу меры (длины, площади, объема) области в т. . Важный частный случай этой ситуации - распределение числа точек в пуассоновском потоке - описан в п. 2.14.

Как приближенное распределение оно возникает или как предельное распределение для сумм независимых целочисленных СВ при возрастании числа слагаемых, или как предельное или частное для многих дискретных СВ.