Lesn3_Integraly

Глава IV. Дифференциальные уравнения высших порядков

Представим уравнение в виде y(n) f (x, y, y ,..., y(n 1) ) . Получим y(n) q(x) p1(x) y(n 1) ... pn (x) y . Следовательно,

f q(x) p1(x) y(n 1) ... pn (x) y .

где x0 (a;b) , а остальные координаты произвольны, дифферен-

циальное уравнение имеет единственное решение y(x), удовлетворяющее начальному условию в точке M. Каждое из этих решений является n раз дифференцируемой на (a; b) функцией.

в силу линейности операции дифференцирования имеем:

A( u v) ( u v)(n) p1(x)( u v)(n 1) ... pn (x)( u v)

( u(n) v(n) ) p1(x)( u(n 1) v(n 1) ) ... pn (x)( u v)

[u(n) p1(x)u(n 1) ... pn (x)u] [v(n) p1(x)v(n 1) ... pn (x)v]

A(u) A(v) .

Используя оператор A, линейное уравнение (3) можно записать кратко A( y) q(x).

сследуем теперь линейное однородное уравнение:

непрерывны на интервале (a; b), оно имеет на этом интервале бесконечное множество решений. Рассмотрим сначала вопрос о линейной зависимости этих решений на интервале (a; b).

110

§3. Линейные однородные дифференциальные уравнения

Теорема 2. Пусть y1, y2 ,..., yn - система решений уравнения (5), линейно независимая на интервале (a; b). Тогда

W[ y1,..., yn ](x) 0 x (a;b) .

Доказательство опустим.

Теоремы 1 и 2 позволяют решать вопрос о линейной независимости решений линейного однородного уравнения (5).

Следствие. Пусть x0 (a; b) - произвольная точка. Решения y1, y2 ,..., yn линейного однородного уравнения линейно независимы на интервале (a; b) тогда и только тогда, когда

W[ y1,..., yn ](x0 ) 0 .

◄Рассмотрим в линейном пространстве Ln (a;b) подмноже-

ство L всех решений линейного однородного уравнения (5). Пусть y1, y2 L - произвольные его решения. Для них на

интервале (a; b) выполняются тождества A( y1) 0 , A( y2 ) 0 . Из этих тождеств для любого числа следует:

Следствие. Если y1(x), y2 (x),...,yn (x) - решения линейного од-

нородного уравнения (5) и с1, с2,…, сn R, то функция n

y(x) ci yi (x) является решением этого уравнения. i 1

Выясним теперь структуру общего решения линейного однородного уравнения.

111

Глава IV. Дифференциальные уравнения высших порядков

3. Структура общего решения линейного однородного дифференциального уравнения

построении общего решения линейного однородного уравнения порядка n основная роль принадлежит системе, состоящей из n линейно независимых решений этого уравнения.

Определение 4. Система решений y1, y2 ,..., yk линейного одно-

родного уравнения порядка n на интервале (a; b) назы-

вается фундаментальной системой решений, если эта система линейно независима на данном интервале и k = n.

Теорема 4. (О структуре общего решения).

Пусть y1, y2 ,..., yn - фундаментальная система решений

линейного однородного уравнения (5). Тогда общее решение этого уравнения имеет вид:

Доказательство сводится к проверке свойств общего решения.

112

§3. Линейные однородные дифференциальные уравнения

Составим систему уравнений относительно C1,...,Cn :

решением уравнения (5). Из систем равенств (*) и (**) следует, что решения u(x) и y(x,c1* ,...,cn* ) удовлетворяют одному и тому же начальному условию задачи Коши. Тогда по теореме Коши на интервале (a; b) выполняется равенство u(x) y(x,c1* ,...,cn* ) .

Доказанные свойства функции (6) означают, что она является общим решением линейного однородного уравнения (5). ►

Согласно доказанной теореме нахождение общего решения линейного однородного уравнения сводится к нахождению фундаментальной системы решений этого уравнения. Всегда ли она существует?

Теорема 5. Для любого линейного однородного уравнения высшего порядка существует хотя бы одна фундаментальная система решений.

113

Глава IV. Дифференциальные уравнения высших порядков

Доказательство. Рассмотрим линейное однородное уравнение порядка n, имеющее решения на интервале (a; b). Возьмем произвольную точку x0 (a; b). Запишем для этого уравнения n начальных условий.

Согласно теореме Коши для каждого i-го условия существует единственное решение yi(x) уравнения, которое удовлетворяет этому начальному условию. Получаем n решений y1(x), y2(x), …, yn(x) рассматриваемого уравнения.

Рассмотрим определитель Вронского для этих решений y1(x), y2(x), … , yn(x), вычисленный в точке x0. Очевидно, W[ y1,..., yn ](x0 ) | E | 1 0 . Это означает, что система решений

y1(x), y2(x), … , yn(x) линейно независима на интервале (a; b), то есть является фундаментальной системой решений уравнения. ►

з доказанной теоремы вытекает еще одно свойство пространства решений линейного однородного уравнения.

Следствие. Линейное пространство L решений линейного однородного уравнения порядка n является n-мерным.

Действительно, согласно теореме 5 в пространстве решений L существует фундаментальная система, состоящая из n решений. По теореме 4 она является базисом пространства L.

Перейдем к практическому нахождению общего решения линейного однородного дифференциального уравнения высшего порядка. Предварительно нам придется познакомиться с комплексными числами. Они будут необходимы при решении нашей задачи.

114

§3. Линейные однородные дифференциальные уравнения

Лекция 13

4.Множество комплексных чисел

Скомплексными числами и их свойствами мы познакомимся в минимальном объеме, необходимом для дальнейших исследований линейных однородных дифференциальных уравнений. Достаточно глубокое исследование комплексных чисел будет проведено в заключительной части нашего курса.

ножество комплексных чисел является расширением множества действительных чисел. Действительные числа интерпретируются как точки координатной прямой. При этом между числами и точками прямой устанавливается взаимно однозначное соответствие. "Свободных мест" на координатной прямой нет. Поэтому комплексные числа можно попытаться интерпретировать как точки на координатной плоскости. Каждая такая точка характеризуется парой действительных чисел - декартовых координат. Поэтому каждое комплексное число должно полностью определяться упорядоченной парой действительных чисел.

Будем рассматривать комплексные числа как многочлены первой степени a + bi переменной i. Переменная i называется мнимой единицей и обладает особым свойством

i 2 = –1.

Действительные числа a и b называются соответственно,

действительной и мнимой частями комплексного числа.

Обозначения: z = a + bi, a = Re z, b = Im z;

C - множество всех комплексных чисел z.

Комплексные числа складываются и умножаются как многочлены первой степени переменной i. При записи результата в стандартном виде учитывается равенство i 2 = –1.

Отметим особо пары комплексных чисел вида z = a + bi и z a bi . Они называются комплексно сопряженными числами.

Их сумма и произведение являются действительными числами. ассмотрим свойства корней многочленов с действитель-

115

Глава IV. Дифференциальные уравнения высших порядков

ными коэффициентами.

Любое квадратное уравнение az2 bz c 0 с действительными коэффициентами имеет два корня, которые находятся по обычной формуле корней квадратного уравнения

По формуле корней квадратного уравнения получаем:

пряженное число z0 a bi является корнем этого многочлена.

116

§3. Линейные однородные дифференциальные уравнения

5.Линейные однородные уравнения

спостоянными коэффициентами

Рассмотрим линейные однородные уравнения, для которых построение фундаментальной системы решений можно алгоритмизировать.

Определение 5. Дифференциальное уравнение вида

решение y Ce a1x . По аналогии с этим будем искать решения

кратности t. При этом сумма кратностей всех корней равна n.

спользуя корни характеристического уравнения, составим фундаментальную систему решений дифференциального

117

Глава IV. Дифференциальные уравнения высших порядков

уравнения (7).

1. Для каждого действительного корня k кратности s в фундаментальную систему включаем набор из s функций:

ekx , xekx , x2ekx ,..., xs 1ekx .

2. Для каждой пары i комплексных корней кратности t в фундаментальную систему включаем 2 набора по t функций:

Записав для всех корней характеристического уравнения соответствующие наборы функций, получим ровно n функций.

Доказывается, что все функции являются решениями дифференциального уравнения (7), и образуют линейно независимую систему функций. Следовательно, эта система является фундаментальной системой решений уравнения (7).

аким образом, получаем

алгоритм решения линейного однородного уравнения

спостоянными коэффициентами

1.По дифференциальному уравнению (7) составляем характеристическое уравнение (8).

2.Находим корни характеристического уравнения и их кратности.

3.По таблице, в соответствии с корнями и их кратностями, составляем фундаментальную систему решений.

4.Записываем общее решение (6) этого уравнения.

118

§3. Линейные однородные дифференциальные уравнения

Пример 5.

Решим уравнение y(5) 9y 0 .

Дифференциальное уравнение является линейным однородным уравнением с постоянными коэффициентами. Решим его.

1.Записываем характеристическое уравнение k5 9k3 0 .

2.Находим его корни и их кратности:

k3 (k 2 9) 0 ;

k 3 (k 3)(k 3) 0 ;

4. Записываем общее решение дифференциального уравнения: y C1e2x C2e x cos 3x C3e x sin 3x .

119