mathanaliz

Фиксируем произвольное ε > 0.

В силу свойства монотонности показательной функции справедливы неравенства

(3.5)

где [x] — целая часть x, т.е. наибольшее целое число не превосходящее x.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Отсюда следует, что

(3.6)

Если x > 1 + N, то [x] > N. Положим δ = N = max{N1, N2}. Тогда,

Из выделенного синим цветом следует, по определению 61, что

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Фиксируем произвольную последовательность (xn) , xn → −∞. Обозначим yn = −xn, zn = yn − 1.

Очевидно, что yn → +∞, zn → +∞. Проведём эквивалентные преобразования

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Тогда

xn

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Фиксируем произвольное ε > 0.

Из выделенного синим цветом следует, по определению 57, что

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

3.14.Бесконечно малые функции.

Пусть f : A → B, A Rk, B R и x0 есть предельная точка множества A. Если множе-

ство A неограничено, то бесконечно удалён-

ная точка в пространстве Rk является пре-

дельной точкой множества A.

Пусть ω - предельная точка x0 множества A или бесконечно удалённая точка в пространстве Rk.

В дальнейшем запись lim f(x) означает

x→ω

lim f(x) или lim f(x).

x→x0 x→∞

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Определение 63. Функция f : A → B называется бесконечно малой при x → ω, если

lim f(x) = 0.

x→ω

Бесконечно малые функции при x → ω будем обозначать буквами α, β, γ, . . . .

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Теорема 28. Пусть f : A → B, A Rk, B R

и ω есть предельная точка множества A. Для того, чтобы

lim f(x) = a R,

x→ω

необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство:

f(x) = a + α(x),

где α(x) есть бесконечно малая при x → ω.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit