mathanaliz

2. Пусть (H) lim f(x) = a. Покажем, что то-

x→x0

гда существует и предел (Ñ) lim f(x), равный

x→x0

a. Далее будем доказывать методом от противного. Предположим, что a не является пределом отображения f по Коши. Это значит, что найдётся Uε0(a) такая, что в любой Uδ (x0) существует точка, образ которой не принадлежит Uε0(a).

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Рассмотрим последовательность δn = 1/n. То-

гда для любого n N найдётся точка xn A ∩ Uδn(x0) такая, что f(xn) / Uε0(a). Заметим, что, в силу выбора последовательности

δn = 1/n, последовательность (xn) сходится к точке x0, но соответствующая последователь-

ность (f(xn)) не сходится к точке a (вне Uε0(a) находится бесконечно много членов (f(xn)), см. определение 20). Получили противоречие

с тем, что (H) lim f(x) = a.

x→x0

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Итак, нет необходимости каждый раз указывать, какой предел функции имеется в виду - предел по Гейне, или предел по Коши.

Мы будем писать просто lim f(x).

x→x0

Различные определения предела функции доставляют различные способы вычисления предела.

Иногда предпочтительнее пользоваться определением предела функции по Гейне, иногда - по Коши.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Определение Гейне часто используют для

того, чтобы доказать, что lim f(x) не суще-

x→x0

ствует. Для этого достаточно:

построить последовательность (xn), xn → x0 такую, что соответствующая последовательность (f(xn)) не имеет предела;

или построить две различные последовательности,

сходящиеся к x0, для которых соответствующие последовательности значений функции имеют различные пределы.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Пример 45. Показать, что функция f(x) = sin x1

не имеет предела при x → 0.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Решение. Возьмём две последовательности

последовательностей значений аргумента, сходящихся к 0, получили различные пределы соответствующих последовательностей значений функции.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

3.12.Предел композиции отображений.

Теорема 27. Пусть f : A → B, A Rk, B

Rm, и ϕ : B → C, C Rp. Пусть, далее, x0 есть предельная точка множества A, y0 есть предельная точка множества B. Если

lim f(x) = y0, f(x) 6= y0 при x 6= x0,

x→x0

lim ϕ(y) = z0,

y→y0

то

lim ϕ(f(x)) = z0.

x→x0

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Доказательство.

Rn Rm

Rp

Рис. 3.25 Предел композиции отображений

Покажем, по определению Коши , что

lim ϕ ◦ f(x) = z0.

x→x0

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

( x A ∩ Uδ (x0) : ϕ ◦ f(x) Uε(z0)) .

Из выделенного синим цветом следует, по определению Коши, что

lim ϕ ◦ f(x) = z0.

x→x0

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Эта теорема позволяет производить замену переменной при вычислении пределов.

Пример 46. Вычислить:

lim sin (1 − t2).

t→1

Решение. Делаем замену переменной: x = 1 − t2.

При t → 1 имеем: x → 0; x 6= 0, если t 6= 1. По теореме 27 о пределе композиции:

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit