Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Lesn4_Rjady_I

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.05.2015

Размер:

1 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Глава I. Числовые ряды

Теорема 4. (Переместительное свойство).

Если в абсолютно сходящемся ряду произвольным образом изменить порядок слагаемых, то сходимость ряда и его сумма не изменятся.

Доказательство опустим.

Заметим, что условно сходящиеся ряды таким свойством не обладают.

Пример 5.

( 1)n 1

Рассмотрим ряд . n

Как мы уже знаем, он условно сходится к сумме S = ln 2. Запишем ряд в развернутом виде:

( 1)n 1 1 1 1 1 1 1 ...

n 2 3 4 5 6

Запишем ряд, получаемый из данного перестановкой слагаемых: за каждым положительным слагаемым данного ряда поставим два последующих отрицательных слагаемых.

bn 1 12 14 13 61 81 ...

Сгруппируем слагаемые указанным ниже образом (это не изменит сходимости и суммы ряда) и вычислим сумму ряда:

bn (1 1 )	1	(1	1 ) 1		...		1	1	1	1		1		1	... =

2	4	3	6	8			2	4	6	8	10		12
= 1	(1 1		1	1 1		1	...) 1 ln 2 .
2		2	3	4	5	6			2

Итак, в результате перестановки слагаемых сумма ряда уменьшилась в 2 раза! Получили резкое отличие от переместительного свойства конечных сумм.

Более полно свойства условно сходящихся рядов раскры-

вает

Теорема 5. (Римана).

Если вещественный ряд сходится условно, то для любого числа S R или S можно так переставить слагаемые ряда, что его сумма будет равна S.

Доказательство опустим.

Рассмотрим теперь арифметические операции над рядами.

§3. Вещественные знакопеременные ряды

Теорема 6. Произведение абсолютно сходящихся рядов является абсолютно сходящимся рядом. Сумма произведения рядов равна произведению сумм умножаемых рядов.

Доказательство опустим.

На этом мы закончим исследование вещественных рядов на условную и абсолютную сходимости. Перейдем к рассмотрению аналогичных свойств комплексных числовых рядов.

§4. Комплексные числовые ряды. Абсолютная и условная сходимости рядов

Для комплексных рядов, как и для вещественных, имеет смысл рассматривать абсолютную и условную сходимости.

Определение 1. Комплексный ряд an называется абсолютно

сходящимся, если он сходится вместе с рядом из модулей слагаемых | an |. Ряд называется условно сходящимся,

если он сходится, а ряд из модулей расходится.

Мы уже знаем, как связана сходимость комплексного ряда

an ( n i n ) со сходимостью вещественных рядов n

иn (см. теорему 5 из § 1):

Теорема 1. Комплексный ряд ( n i n ) сходится тогда и

только тогда, когда сходятся оба вещественных ряда

n и n .

Рассмотрим аналогичные связи для абсолютной и условной сходимостей комплексного ряда.

Теорема 2. Комплексный ряд ( n i n ) сходится абсолютно

тогда и только тогда, когда абсолютно сходятся оба вещественных ряда n и n .

Доказательство. Пусть абсолютно сходится комплексный

Глава I. Числовые ряды

ряд

an ( n i n ) . Тогда сходится и ряд

| an | .

Сравним положительный ряд

| n | с рядом

| an | :

| 2

| a | .

Ряд

| n |

«меньше» сходящегося ряда | an | . Поэто-

му ряд | n |

тоже сходится. Это означает,

что вещественный

ряд

сходится абсолютно.

Совершенно аналогично доказывается абсолютная сходи-

мость второго вещественного ряда

n .

Пусть вещественные ряды

и n сходятся абсо-

лютно. Тогда сходятся ряды

| n | и

| n | . Вместе с ними

сходится и сумма этих рядов (| n | | n |) .

Сравним с этим

рядом ряд из модулей | an | :

| a | 2 2

|2 2 |

| |

| .

Ряд

| an |

«меньше» сходящегося ряда

(| n | |

n |) .

Поэтому ряд | an | тоже сходится. Это означает, что комплекс-

ный ряд an сходится абсолютно.						►
Теорема 3. Комплексный ряд ( n i n )				сходится условно то-
	гда и только тогда,	когда оба вещественных ряда n и
	гда и только тогда,	когда оба вещественных ряда n и
	n сходятся, и хотя бы один из них – только условно.
Доказательство вытекает из двух предыдущих теорем.
Пример 1.
Исследуем комплексный ряд (sin2n i				( 1)n
					) .
				n 1	) .
			n
						( 1)n
			2			n 1
Вещественный ряд		sin n сходится абсолютно, а ряд
		n

сходится условно. Следовательно, комплексный ряд сходится условно.

§1. Функциональные ряды. Поточечная и равномерная сходимости.

Лекция 4

Глава II.

Функциональные ряды

§1. Функциональные ряды. Поточечная и равномерная сходимости

ведем основные понятия. Пусть дана последовательность функций un (z) , определенных на множестве Do C.

Определение 1. Выражение вида


un (z) u1(z) u2 (z) ... un (z) ...	(1)
n 1
называется функциональным рядом.
Сумма функций
Sn (z) u1 (z) u2 (z) ... un (z)	(2)
называется n–ой частичной суммой ряда.
Ряд вида

un (z) uk 1 (z) uk 2 (z) ...	(3)
n k 1
называется k-м остатком ряда.

Будем рассматривать функциональные ряды как комплексные, так и вещественные.

При стандартной индексации слагаемых ряда вместо запи-

	будем использовать более простую запись un (z) .
си un (z)	будем использовать более простую запись un (z) .
n 1
Рассмотрим точку z0 Do		и числовой ряд un (z0 ) .

Глава II. Функциональные ряды

Определение 2. Функциональный ряд un (z) называется сходящимся в точке z0 Do , если сходится числовой ряд un (z0 ) .

Множество D Do всех точек, в которых функциональ-

ный ряд сходится, называется областью (поточечной)

сходимости этого ряда.

Область сходимости функционального ряда находится непосредственно по определению.

Пример 1.

Найдем область сходимости ряда xnn .

Это вещественный ряд, Do = R. Для отрицательных чисел x ряд является знакопеременным.

Пусть x R произвольное фиксированное число. Применим признак Даламбера абсолютной сходимости числового ряда:

d lim		\|an 1\|	lim	\|x\|n 1 n	lim	\|x\| n	\| x \| .
n		\|an \|	n	(n 1)\|x\|n	n n 1
Если \| x \| 1 , то ряд сходится абсолютно. Если же \| x \| 1 , то ряд
расходится. Пусть \| x \| 1.			Тогда при x = 1 ряд является расходящим-
ся гармоническим	1 . При x = 1 имеем ряд Лейбница, сходящийся
	n

условно. Окончательно, получаем область сходимости ряда: D [ 1; 1) .

Обратимся к понятию «сумма функционального ряда». Каждой точке z0 D из области сходимости поставим в соот-

ветствие единственное число S(z0 ) , равное сумме числового ряда un (z0 ) . Получим некоторую функцию S(z) .

Определение 3. Пусть D область сходимости функционального ряда un (z) . Функция S(z), определяемая в каждой точке z D равенством

S(z) un (z) ,

(4)

называется суммой функционального ряда в области D.

§1. Функциональные ряды. Поточечная и равномерная сходимости.

Ряд un (z) называется сходящимся поточечно в обла-

сти D к функции S(z).

Замечание. В случае поточечной сходимости функционального ряда имеет смысл говорить об условной и абсолютной сходимости этого ряда.

Рассмотрим пример нахождения суммы функционального

ряда.

Пример 2.

Исследуем вещественный функциональный ряд (xn 1 xn ) на промежутке Dо [0; ) .

Пусть x R произвольное фиксированное число. Частичные

суммы числового ряда имеют вид S		n	(x) 1 xn . Отсюда получаем:

	1,			0 x 1;
				x 1 .
lim Sn ( x) 0,
n
	,			x 1.

Ряд сходится поточечно в области D [0;1] к функции

1,	0 x 1;
S( x)	.
0,	x 1.
Слагаемые ряда u (x) xn 1 xn непрерывны и дифференци-
n

руемы на промежутке [0; 1] . А сумма ряда S(x) на этом промежутке имеет разрыв и не дифференцируема!

Пример показывает, что поточечная сходимость ряда не обеспечивает сохранения суммой функционального ряда важнейших свойств конечных сумм функций. Перейдем к рассмотрению другого вида сходимости ряда.

редварительно обратимся к равенству (4). Для каждой

фиксированной точки z0 D	частичная сумма Sn (z0 ) числово-
го ряда un (z0 ) имеет вид	Sn (z0 ) u1(z0 ) u2 (z0 ) ... un (z0 ) .

Ряд un (z0 ) сходится, если существует конечный предел

Глава II. Функциональные ряды

его частичных сумм

lim Sn (z0 ) S(z0 ) .

Для произвольной точки

z D получаем равенство, экви-

валентное равенству (4):

S(z) lim Sn (z) .

(5)

Определение 3 поточечной сходимости ряда un (z) к

функции S(z)

можно тогда записать символически:

S(z) un (z)

(6)

z D 0 n0 n0 (z, ) n n0

| S(z) Sn (z) |

Заметим, что последнее неравенство можно переписать в

виде | rn (z) | ,

где rn (z) n-й остаток ряда un (z) .

По аналогии с (6) введем еще одно понятие.

Определение

Функциональный

ряд

un (z) называется

равномерно сходящимся в области

D, если выполняется

условие

0 n0

n0 ( ) n n0

z D | rn (z) | .

(7)

Пример 3.

Исследуем вещественный ряд

( 1)n 1

2 n

При любом фиксированном

x R это ряд Лейбница. Он схо-

дится поточечно (и условно) на R.

Согласно замечанию к теореме Лейбница имеем:

n x

| r (x) | | a

x2 n 1

n 1

Возьмем произвольное 0 и подберем натуральное число n0 ,

удовлетворяющее неравенству

. Тогда для любого натурального

n n0	и всякого x R из полученных неравенств следует неравенство
	\| r (x) \|	1	1	.
	n	n	n0
		n	n0

Согласно условию (7) ряд сходится на R равномерно.

§1. Функциональные ряды. Поточечная и равномерная сходимости.

При исследовании последнего ряда пришлось проводить достаточно сложные рассуждения. В некоторых случаях исследование функционального ряда на равномерную сходимость можно провести проще, если использовать следующий достаточный признак.

Для его доказательства нам понадобится вспомогательное понятие.

Определение 5. Функциональный ряд un (z) называется

мажорирующимся в области D вещественным число-

вым рядом an , если выполняется условие

n N z D | un (z) | an .

(8)

Числовой ряд an называется в этом случае мажорирующим функциональный ряд.

Теорема 1. (Признак Вейерштрасса).

Функциональный ряд, мажорируемый в некоторой области сходящимся вещественным рядом, сходится в этой области равномерно и абсолютно.

Доказательство. Из равенства (8) по первому признаку сравне-

ния следует, что ряд un (z)		сходится абсолютно в каждой точ-
ке z D .
Рассмотрим остаток rn		числового ряда an . Так как ряд
сходится, то lim rn 0 .	Согласно определению предела имеем:
n
0 n0 N n n0	\| rn \| . Так как an 0 , то 0 rn .
Рассмотрим остаток rn (z)			функционального ряда un (z) .
Для всех z D и n n0	имеем:

\| rn (z) \| \| uk (z) \| \| uk (z) \|				ak rn .
k n 1	k n 1		k n 1
Итак, 0 n0	N n n0 z D \| rn (z) \| . Это озна-
чает, что функциональный ряд			un (z)	сходится в области D
равномерно.				►

Глава II. Функциональные ряды

Пример 4.

Рассмотрим вещественный функциональный ряд

sinnx

n2 x2

Имеем: Do = R. Для всех n

и x R получаем:

| u (x) |

|sin nx|

n2 x2

Это означает, что в области R функциональный ряд мажориру-

ется числовым рядом

Так как числовой ряд

сходится, то по признаку Вейер-

штрасса функциональный ряд

sinnx

сходится равномерно на R.

n2 x2

Перейдем кисследованию свойств равномерно сходящихся функциональных рядов.

§2. Равномерно сходящиеся функциональные ряды

Как мы знаем, умножение ряда на ненулевое число не влияет на сходимость ряда. Аналог этого свойства для равномерной сходимости функционального ряда имеет следующий вид.

Теорема 1. Пусть ряд un (z) равномерно сходится в области D, функция f(z) ограничена по модулю на D. Тогда в области D равномерно сходится и ряд f (z)un (z) .

Доказательство опустим.

Мы знаем, что при определенных условиях предел конечной суммы функций равен сумме пределов слагаемых. Для суммы бесконечного числа слагаемых функций имеет место следующее свойство.

Теорема 2. (О предельном переходе под знаком суммы).

Пусть ряд un (z) равномерно сходится в области D и

все функции un (z)	имеют конечные пределы lim un (z) .
	z z0

Тогда и сумма ряда S(z) имеет конечный предел

§2. Равномерно сходящиеся функциональные ряды.

lim S(z) , при этом выполняется равенство

z z0

lim S(z) =

lim

(z)

lim u

(z) .

(1)

z z

Доказательство опустим.

Теорема 3. (О непрерывности суммы ряда).

Пусть ряд

un (z)

равномерно сходится в области D и

все функции un (z)

непрерывны в

D. Тогда в области D

непрерывна и сумма ряда.

Доказательство. Нужно доказать, что z0

D выполняется ра-

венство lim S(z) S(z

) . По условию теоремы для всех функ-

z z0

ций u	n	(z)		существуют (конечные) пределы lim u		n	(z)
	n				z z0	n
Тогда lim				S(z) = lim un (z) lim un (z) un (z0
		z z	0	z z0	z z0
			0
Следовательно, функция S(z)					непрерывна в точке	z0

un (z0 ) .

) S(z0 ) .

D . ►

Пример 1.
Рассмотрим функциональный ряд					(xn 1 xn ) . Как было по-
казано, на	отрезке	D [0;1]		ряд	сходится. Слагаемые ряда
u (x) xn 1	xn непрерывны на этом отрезке. Сумма же ряда имеет
n
разрыв на этом отрезке. Тогда			по теореме 3 ряд сходится на D [0;1]
неравномерно.
Теорема 4. (О почленном интегрировании ряда).
Пусть ряд		un (z)	равномерно сходится на кусочно-
гладкой кривой L			и все функции un (z) непрерывны

(а значит, и интегрируемы) на L. Тогда и сумма ряда S(z) интегрируема на L, при этом выполняются равенства

S(z)dz		un (z)dz un (z)dz .	(2)
L	L	L

Если выполняются равенства (2), то говорят, что функцио-

нальный ряд можно интегрировать на кривой L почленно.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.05.20151.39 Mб54Lektsii_po_SVCh_1.doc
#
11.05.20153.63 Mб9Lesn3_Integraly.pdf
#
11.05.20152.02 Mб6Lesn3_Integraly.pdf
#
11.05.20154.48 Mб7Lesn3_Integraly1.pdf
#
11.05.20152.33 Mб11Lesn4_Rjady.pdf
#
11.05.20151 Mб5Lesn4_Rjady_I.pdf
#
11.05.20151.31 Mб4Letn_prakt.pdf
#
11.05.2015531.97 Кб8Liber_Khorne_final.doc
#
11.05.20159.53 Mб9mathanaliz.pdf
#
16.03.20161.3 Mб13Mat_analiz_ekzamen.pdf
#
11.09.20191.28 Mб0Mazur.doc

d lim		\|an 1\|	lim	\|x\|n 1 n	lim	\|x\| n	\| x \| .
n		\|an \|	n	(n 1)\|x\|n	n n 1
Если \| x \| 1 , то ряд сходится абсолютно. Если же \| x \| 1 , то ряд
расходится. Пусть \| x \| 1.			Тогда при x = 1 ряд является расходящим-
ся гармоническим	1 . При x = 1 имеем ряд Лейбница, сходящийся
	n