Диф-уравнения-1 порядка

4. Линейные уравнения первого порядка.

Линейными дифференциальными уравнениями первого порядка называют уравнения линейные (т.е. первой степени) относительно неизвестной функции и ее производной:

где p(x) и q(x) непрерывные функции.

Если q(x) = 0, то уравнение (4.1) называется линейным однород-

íûì. В противном случае (когда q(x) 6= 0) линейным неоднород-

íûì.

В линейном однородном уравнении переменные разделяются. В уравнении y0 +p(x)y = 0 перенесем слагаемое p(x)y в правую часть. Разделив

переменные и проинтегрировав получившееся уравнение, получим

R

y(x) = Ce p(x)dx; (4:2)

где C константа интегрирования.

Для решения неоднородного уравнения можно применить метод вариации произвольной постоянной. Будем считать, что в решении (4.2) однородного уравнения C является не константой, а функцией от x: C(x).

11

Дифференцируя выражение (4.2), получим, что

Подставляем функцию и ее производную в неоднородное уравнение (4.1):

R

Сократив слагаемые C(x)p(x)e p(x)dx и умножив обе части уравнения

R

íà e p(x)dx, получим уравнение для определения функции C(x):

Проинтегрировав это уравнение и подставив результат в выражение (4.2), получим решение неоднородного линейного дифференциального уравнения первого порядка (4.1):

Z

R R

p(x)dx ~ p(x)dx

y(x) = e C + q(x)e dx : (4:6)

Здесь ~

C не зависящая от x константа интегрирования уравнения.

Другой метод решения неоднородного линейного дифференциального уравнения первого порядка заключается в том, что мы представляем искомую функцию y(x) в виде произведения двух функций:

Подставляя выражение (4.7) в уравнение (4.1), приводим это уравнение к виду:

Приравняв нулю каждое из выражений, стоящее в квадратных скобках (поскольку неизвестных функций у нас две, то для их определения требуется два уравнения), получим линейное однородное уравнение для функции u(x):

12

и уравнение с разделяющимися переменными для функции v(x):

Решив эти уравнения, получим решение неоднородного линейного дифференциального уравнения первого порядка, в точности совпадающее с выражением (4.6).

Отметим, что и метод вариации постоянной, и представление искомой функции в виде произведения по сути две разные формы одного и того же метода решения уравнения. Как правило, ни один из этих двух способов не дает каких-либо преимуществ, и выбирают тот способ, который больше нравится.

теграл для нахождения C(x) берется по частям: u = x 1, dv = sin xdx, du = dx,

Отметим, что многие дифференциальные уравнения, которые формально не являются линейными, путем замены переменных могут быть сведены к линейным. Одним из распространенных способов замены поменять местами переменные x и y, т.е. искать зависимость не y = y(x),

13

нородное линейное дифференциальное уравнение относительно функции x(y), инте-

грирование которого не представляет труда (проделайте это самостоятельно).

Рассмотрим еще один тип уравнений, который с помощью замены переменных сводится к линейным, уравнение Бернулли, имеющее вид

которое заменой переменных z = y1 n сводится к линейному. Действи-

тельно, дифференцируя z(x) как сложную функцию от y, находим

Разделив обе части уравнения (4.11) на y n и используя выражение

(4.12), получаем для функции z(x) линейное неоднородное дифферен-

циальное уравнение первого порядка.

Уравнение Бернулли может быть решено и представлением искомой функции в виде произведения двух функций.

Задания для самостоятельного решения.

Решите уравнение. Если заданы начальные условия, решите задачу Коши.

14

5. Уравнения в полных дифференциалах.

Если мы рассматриваем уравнения первого порядка в дифференциальной форме

то может оказаться, что его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции двух переменных U(x; y):

dU(x; y) = @U@x dx + @U@y dy = M(x; y)dx + N(x; y)dy = 0;

то есть функции M(x; y) и N(x; y) являются частными производными функции двух переменных U(x; y):

Если выполнены условия теоремы о равенстве смешанных производных, порядок взятия частных производных не влияет на результат, то есть

15

В этом случае говорят, что уравнение (5.1) является уравнением в полных дифференциалах. Общий интеграл этого уравнения записывается в виде

а удовлетворяющий начальному условию y(x0) = y0 частный интеграл в âèäå

Найдем сначала частный интеграл уравнения (5.1), удовлетворяющий условию y(x0) = y0. Проинтегрируем, например, первое из уравнений

(5.2) по x, используя при этом понятие определенного интеграла с пере-

x

R

менным верхним пределом: U(x; y) = M(x; y)dx + '(y).

x0

При вычислении интеграла считается, что y = const, и интегрирование по x выполняется как от обычной функции одной переменной. Поэтому, в общем случае константа интегрирования зависит от y: '(y). Для нахождения функции '(y) воспользуемся вторым уравнением (5.2). Продифференцировав полученное выражение по y (считая при этом x = const), получим:

Важно, что левая часть полученного уравнения зависит только от пере- менной y (ведь x0 константа!). Проинтегрировав обе части уравнения

16

записать частный интеграл уравнения (5.1) в виде

ZZ

Если начать интегрирование со второго уравнения из (5.2), то совершенно аналогично можно получить, что

ZZ

Отметим, что в выражении (5.4) в первом интеграле переменная y во

время интегрировании по x считается параметром, а потом опять пе-

ременной. Аналогично, в выражении (5.5) во втором интеграле переменная x при интегрировании по y считается параметром, а потом опять переменной.

Пример 5.1. Найдите решение уравнения

(x2 3y + 2x)dx + (y 3x + sin y)dy = 0, удовлетворяющее начальному

условию y(2) = 0.

Решение . Äàíî M(x; y) = x2 3y + 2x, N(x; y) = y 3x + sin y. Это уравнение является уравнением в полных дифференциалах, если выполнено условие

Задания для самостоятельного решения.

Найдите общий интеграл уравнения

17

6. Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка.

I. Уравнения с разделяющимися переменными. Уравнение y0 = f1(x) f2(y) называется уравнением с разделяющимися переменными . С помощью алгебраических преобразований приводим уравнение к виду

dy

f2(y) = f1(x)dx.

Обе части уравнения с разделенными переменными представляют собой дифференциалы некоторых функций. Поскольку равны дифференциалы функций, то с точностью до постоянной равны и сами функции. Следовательно, общий интеграл уравнением с разделяющимися перемен-

однородная функция нулевого измерения называются однородными уравнениями.

y(x) = x z(x) привoдим его к уравнению с разделяющимися перемен-

íûìè.

уравнения первого порядка это уравнения линейные относительно неизвестной функции и ее производной: y0 + p(x)y = q(x); где p(x) и q(x) непре-

рывные функции. Если q(x) = 0, то уравнение называется однородным, åñëè q(x) 6= 0 неоднородным линейным уравнением.

Линейное однородное уравнение является уравнением с разделяю-

R

щимися переменными. Его решение имеет вид y(x) = Ce p(x)dx, ãäå

C = const.

18

Для решения неоднородного уравнения применим метод вариа-

го дифференциального уравнения первого порядка имеет вид

линейного неоднородного уравнения можно предствить в виде суммы общего решения однородного уравнения и частного решения

неоднородного уравнения: yон = yоо + yчн.

Уравнение dxdy + p(x)y = q(x)yn называ- åòñÿ уравнением Бернулли. Заменой переменных z = y1 n оно сводится

к линейному уравнению первого порядка..

V. Уравнения в полных дифференциалах. Уравнение

M(x; y)dx + N(x; y)dy = 0 называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции U(x; y), т.е. M(x; y)dx + N(x; y)dy = dU(x; y). Тогда

19