2.2.4. Самосовмещения фигур
Обширный и очень важный класс разнообразных групп как конечных, так и бесконечных составляют группы “самосовмещений” геометрических фигур. Под самосовмещением данной геометрической фигуры F понимают такое перемещение фигуры F (в пространстве или на плоскости), которое переводит F в самое себя, т.е. совмещает фигуру F с самой собой.
Мы
уже познакомились с одной из простейших
групп самосовмещений, а именно с группой
поворотов правильного треугольника на
плоскости и показали, что она изоморфна
некоторой подгруппе группы подстановок
.
Аналогичным образом можно построить
группы самосовмещений других геометрических
фигур и показать их изоморфизм с
подгруппой группы
.
Задача. Построить группу симметрий квадрата.
Решение. Занумеруем вершины квадрата и оси симметрий (рис. 2.4). Обозначим O – центр симметрии квадрата.
В группу самосовмещений войдет тождественное перемещение – поворот вокруг точки O на 0; повороты вокруг этой точки на 90, на 180 и на 270; повороты относительно четырех осей симметрии. Итого, получаем восемь элементов группы симметрий.
Тождественное
перемещение описывает тождественная
подстановка
.
Вращения на 90,
на 180
и на 270
- подстановки
,
и
соответственно.
Поворот
относительно оси I
описывает подстановка
;
относительно осиII
– подстановка
;
осиIII
-
;
осиIV
-
.
Таким образом, мы получили группу подстановок, изоморфную группе самосовмещений квадрата:
S8
=
.
2.2.5. Контрольные вопросы и упражнения
1. Что такое группа?
2.
Дано множество
.
Проверить, является ли данное мно-жество
группой относительно операции умножения.
3. Что такое подгруппа?
4. Привести пример подстановки, которая является полным циклом.
5. Объяснить процедуру разложения подстановки в произведение независимых циклов.
6.
Чему равен порядок подстановки
?
7. Какие группы называются изоморфными?
8. Приведите примеры самосовмещений геометрических фигур.