2.1.9. Сочетания с повторениями

Задача. Найти количествосочетаний с повторениями изnпредметов поr.

Рассмотрим вывод формулы на примере с фотографиями (см. 2.1.2). Имеется nтипов предметов (негатива). Нужно составить набор изr предметов (фотографий). Наборы различаются своим составом, а не порядком элементов. Например, разными будут наборы состава и– один содержит три фотографии с первого негатива и по одной со второго и с третьего, а другой – одну с первого и четыре с третьего. Разложим эти наборы на столе, разделяя фотографии разного типа карандашами. Карандашей нам понадобится, а фотографий. Мы будем получать различные сочетания с повторениями, переставляя между собой этипредметов, т.е.- число сочетаний с повторениями изnпредметов поrравно числу перестановок с повторениями длинысостава. В нашем примере

Иначе формулу сочетаний с повторениями можно записать

1.5.10. Решение задач 2,3 контрольной работы № 2

При решении задач комбинаторики рекомендуем выбирать нужную формулу, пользуясь блок-диаграммой (рис. 2.1).

Задача 3. В профком избрано 9 человек. Из них надо выбрать председателя, его заместителя и казначея. Сколькими способами это можно сделать?

Решение. Составим список в порядке: председатель, заместитель, казначей. Выбираем трех из 9 человек, т.е.. Порядок важен? Да, выбираем правую часть блок-диаграммы (рис. 2.1). Следующий вопрос: выбираем всеnэлементов? Нет. Повторения есть? Нет. Следовательно, наша выборка – размещение без повторений и количество таких выборок

Задача 2. Сколькими способами 40 человек можно рассадить в три автобуса, если способы различаются только количеством человек в каждом автобусе?

Решение. Выстроим 40 человек в очередь и выдадим каждому билет с номером автобуса. Получим выборку, например, такую:.В этой выборке 40 элементов (), а значений – номеров автобусов – три (). Порядок важен? Чтобы ответить на этот вопрос, поменяем местами двух человек в очереди и посмотрим, изменилась ли выборка. Выборка не изменилась, т.к. количество людей в каждом автобусе осталось прежним. Порядок не важен, поэтому выбираем левую часть блок-диаграммы (рис. 2.1). Повторения есть? Да, в нашей выборке номер автобуса может встречаться несколько раз. Следовательно, выборка является сочетанием с повторениями изпоэлементов:

2.1.11. Бином Ньютона

В школе изучают формулы сокращенного умножения:

Бином Ньютона позволяет продолжить этот ряд формул. Раскроем скобки в следующем выражении:

Общий член суммы будет иметь вид Чему равен коэффициентC? Он равен количеству способов, которыми можно получить слагаемое(т.е. количеству способов, которыми можно выбратьkскобок с множителемa, а из остальныхскобок взять множительb). Например, еслито слагаемоеможем получить, выбрав множительaиз первой и пятой скобки. Каков тип выборки? Порядок перечисления не важен (выбираем сначала первую, затем пятую скобки, или, наоборот, сначала пятую, затем первую – безразлично), повторяющихся элементов (одинаковых номеров скобок) в выборке нет. Это сочетание без повторений. Количество таких выборок равно