69

2. Комбинаторика. Основы теории групп

2.1. Комбинаторика

2.1.1. Задачи комбинаторики

Комбинаторика решает для конечных множеств задачи следующего типа:

а) выяснить, сколько существует элементов, обладающих заданным свойством;

б) составить алгоритм, перечисляющий все элементы с заданным свойством;

в) отобрать наилучший по некоторому признаку среди перечисленных элементов.

Мы будем заниматься только задачами первого типа. При этом будет идти речь об отборе rэлементов с заданным свойством из конечного множестваX, состоящего изnэлементов. Результат такого отбора будем называтьвыборкой. Нас будет интересовать вопрос о количестве выборок заданного типа.

2.1.2. Типы выборок

Выборки делятся на типы по двум признакам: а) важен ли порядок отбора элементов; б) есть ли среди отобранных элементов одинаковые. Будем обозначать n– количество элементов в исходном множествеX,r– количество элементов в выборке.

Упорядоченный набор элементов, среди которых нет повторяющихся, называется размещениемизnэлементов поr. Количество размещений обозначается(табл. 2.1).

Таблица 2.1

Типы выборок

	Повторений элементов нет	Повторения элементов есть
Порядок важен	размещения	размещения с повторениями
Порядок не важен	сочетания	сочетания с повторениями

Пример. Определяя трех победителей олимпиады среди 20 участников, мы составляем размещения из 20 элементов по 3, т.к. порядок в этом списке важен (первое, второе, третье место), и ни одна фамилия не может появиться в нем дважды.

Упорядоченный набор элементов, среди которых могут быть одинаковые, называется размещением с повторениями. Количество таких выборок обозначается.

Пример. Составляя всевозможные четырехзначные телефонные номера из десяти цифр, мы получаем размещения с повторениями из 10 по 4, т.к. в телефонном номере могут встретиться одинаковые цифры, порядок записи цифр важен.

Неупорядоченный набор элементов, среди которых нет повторяющихся, называется сочетаниемизnэлементов поr. Количество сочетаний обозначается.

Пример. Из восьми человек нужно выбрать троих, чтобы вручить им лопаты для уборки снега. Здесь порядок отбора не важен, и одному человеку вручить две лопаты не удастся – имеем сочетание из восьми по три.

Неупорядоченный набор элементов, среди которых могут быть одинаковые, называется сочетанием с повторениями. Количество таких выборок обозначается.

Пример. С трех различных негативов хотим напечатать пять фотографий. Здесь порядок печати не важен, а в полученном наборе обязательно будут одинаковые фотографии – это сочетания с повторениями из трех элементов по пять.

2.1.3. Основные правила комбинаторики

В 1.4.6 мы доказывали теоремы о свойствах конечных множеств. Именно они, лишь в другой формулировке, используются при выводе формул комбинаторики как основные правила.

Правило суммы. Если элементaможет быть выбранmспособами, а элементb другими kспособами, то выбор одного из этих элементов –aилиbможет быть сделанm+kспособами.

Пример. На конюшне четыре лошади и два пони. Сколько возможностей выбрать себе скакуна? Здесь используем правило суммы: выбираем один элемент из двух множеств (лошадь или пони)способами.

Правило произведения. Если элементaможет быть выбранmспособами, а после этого элементbвыбираетсяkспособами, то выбор пары элементовв заданном порядке может быть произведенспособами.

Пример. Пару лыж можно выбрать шестью способами, пару ботинок – тремя. Сколькими способами можно выбрать лыжи с ботинками? Здесь выбираем пару элементов (лыжи, ботинки) – всего способов.

Правило включения-исключения. Если свойствомSобладаетmэлементов, а свойствомPобладаетkэлементов, то свойствомSилиPобладаетэлементов, гдеl– количество элементов, обладающих одновременно и свойствомS, и свойствомP.

Пример. На полке стоят банки с компотом из яблок и груш. В десяти банках есть яблоки, в шести – груши, в трех – и яблоки, и груши. Сколько всего банок на полке? Здесь, т.е. всего на полкебанок.