2.5. Кодирование числовой информации

Возможны 2 варианта.

1. Кодирование целых чисел.

Для этой цели применяется Двоично-шестнадцатиричная, система. Для компьютера она не очень удобна, а для человека удобна, и человек заставляет машину оперировать с данными в этой системе счисления. В этой системе каждой шестнадцатеричной цифре просто соответствует набор из 4 битов (4 двоичных цифр):

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111

Примеры: 300 надо сначала перевести в 16-ричную систему, это будет 12С или 0001|0010|1100.

1234 в 16-ричном виде будет равно 4D2 или 0100|1101|0010

2. Кодирование действительных чисел.

В тех случаях, когда в компьютере надо выполнять математические операции с числовыми данными, применяются действительные числа.

Для кодирования действительного числа используют от 32 до 80 разрядов (от 4 до 10 байт). При этом число предварительно преобразуется в нормализованную форму.

3,1415926= 0,31415926 • 10¹

300 000 = 0,3 • 10²

123 456 789 = 0,123456789 • 10¹⁰

Первая часть числа называется мантиссой, а вторая — характеристикой, число получается как их произведение.

Мантисса ­– дробная часть числа, лежащая в интервале от 1 до 0,1. Характеристика ­– показатель степени при мантиссе.

Для хранения характеристики отводится 1 разряд, т.е. 8 бит. Один бит идет на знак характеристики (+ обозначается как 1, а - как 0), а 7 бит – на показатель степени. При такой записи компьютер позволяет закодировать числа с показателем степени от 10¹²⁸ до 10^-128.

От 3 до 9 байт отводится для мантиссы. Один бит отводится на знак мантиссы, также как и у характеристики здесь + кодируется 1, а - нулем. Таким образом, мантисса может занимать от 23 до 71 двоичной цифры, что тоже очень много. Если мантисса состоит из небольшого числа двоичных цифр, то тогда пустые разряды заполнеяются нулями слева от значащих цифр.

Например, 300 000 будет в двоичной системе иметь вид:

1 | 0000110 | 1 | 00000000000000000000011

знак числа (+) порядок (6) знак мантиссы (+) мантисса (3)

А -0,1234567 в компьютере будет представлено как:

0 | 0000111 | 1 | 00100101101011010000111

2.6. Логические основы построения эвм

В работе всех процессоров современных компьютеров применяется аппарат алгебры логики. Без использования алгебры логики невозможно также программирование. Как уже было сказано, основателем математической логики является ирландский ученый Джордж Буль, который опубликовал свои главные работы, посвященные алгебре логики в середине XIX века. С тех пор математическая логика непрерывно развивалась, но практическое применение эта наука нашла только после создания ЭВМ.

Алгебра логики оперирует с логическими высказываниями и определяет значение всех функций и аргументов в двухзначном множестве: 1 (истина) и 0 (ложь). Высказывание – это любое предложение, в отношении которого имеет смысл утверждение о его истинности или ложности. При этом соблюдается закон исключения третьего, т.е. высказывание может быть истинным или ложным, но не может быть одновременно истинным и ложным.

Примеры высказываний, допустимых в алгебре логики.

Сейчас идет дождь. Москва – столица России. Частное от деления 10 на 2 равно 3.

В алгебре логики высказывания обозначают буквами: A, B, C и называют операндами. Над операндами можно производить различные действия с помощью операторов. Из операндов и операторов можно строить логические конструкции, в том числе из многих звеньев. Существуют свои законы, аксиомы, теоремы. Но результатом любых логических операций может быть только два значения: истина или ложь, true или false, 0 или 1.

Подробно мы математическую логику изучать не будем, рассмотрим только самые главные операторы Булевой алгебры, на них построены реальные логические схемы компьютера. В вычислительной технике логические операции осуществляется с помощью типовых модулей, построенных из полупроводниковых элементов: диодов, транзисторов, тиристоров и пр.

Основные операторы алгебры логики.

1. Операторы сравнения: > больше, < меньше, = равно, <> не равно, >= не меньше, <= не больше. Действия операторов сравнения такие же, как и в алгебраических неравенствах, только результатом может быть два значения: истина или ложь.

2. Инверсия или отрицание, – операция замены высказывания на противоположное. Обозначается NOT или НЕ. В логических функциях при инверсии над элементом ставится черта: Ā . В отличие от всех остальных операторов, знак инверсии применяется к одному элементу.

В двоичной системе не 1=0.

Геометрическая интерпретация:

Вариант электрической схемы инвертора:

3. Конъюнкция или логическое умножение. Операция, соединяющая два и более высказываний в новое высказывание при помощи союза И (AND). Сложное конъюнктивное высказывание истинно только тогда, когда каждое из составных высказываний истинно. Высказывание ложно, когда хотя бы одно из составных высказываний ложно. Обозначается A∩B.

Словесный пример.

Что необходимо иметь для того, чтобы сварить суп? Нужны: вода, нагрев, кастрюля, продукты. Если отсутствует хотя бы одна из этих четырех составляющих – супа не получится. Налицо конъюнкция: истина (суп) будет существовать, если будут истинны, то есть будут в наличии следующие составные части: вода, нагрев ,кастрюля, продукты.

Геометрическая интерпретация:

В электрической схеме конъюнкция эквивалентна двум последовательным выключателям.

4. Дизъюнкция или логическое сложение. Операция, соединяющая два и более высказываний в новое высказывание при помощи союза ИЛИ (OR). В отличие от обычной речи, при дизъюнкции не предполагается связь высказываний по смыслу. В дизъюнкции сложное высказывание истинно, если хотя бы одно из исходных высказываний истинно. Сложное высказывание ложно только если все составные высказывания ложны. Обозначается AUB.

Словесный пример.

Что можно добавить в суп? Картофель, морковь, мясо, рыбу, макароны, перец, лавровый лист, лук и т.д. При отсутствии любого из этих компонентов все равно получим суп. Имеем дизъюнкцию: истина (суп) будет в наличии, даже если хотя бы один из указанных компонентов будет на месте.

Геометрическая интерпретация:

В электрической схеме дизъюнкция эквивалентна двум параллельным выключателям.

5. Исключающее ИЛИ. Из двух и более высказываний истинным является одно и только одно. В математической логике обозначается как XOR, в русском языке при таких высказываниях ставятся союзы ЛИБО. Либо одно, либо другое. Обозначается двумя знаками дизъюнкции: A UU B.

Словесный пример.

Кого-то зовут Джек. Это может быть либо человек, либо собака, но не может быть одновременно и собакой, и человеком.

Геометрическая интерпретация

В электрической схеме исключающее ИЛИ будет соответствовать двухпозиционному выключателю.

Применение логических операторов к операндам – высказываниям

A	B	A ∩ B	A U B	A UU B	Ā
1 (и)	1 (и)	1 (и)	1 (и)	0 (л)
1 (и)	0 (л)	0 (л)	1 (и)	1 (и)
0 (л)	1 (и)	0 (л)	1 (и)	1 (и)
0 (л)	0 (л)	0 (л)	0 (л)	0 (л)

.

1 Чем различаются выражения ЭВМ и компьютер? Ничем, это синонимы. ЭВМ – это сокращение слов «электронно-вычислительная машина», а «computer» переводится как «вычислитель».

2 Так, при любом выходе в Интернет, если не принимать специальных мер, все данные, имеющиеся на компьютере, могут стать достоянием неопределенного круга лиц – любого злоумышленника, проникшего к вам через сеть. Поэтому с закрытой, конфиденциальной информацией лучше работать на компьютерах, не имеющих физических средств подключения к Интернету. Это правило хорошо бы усвоить руководителям различных фирм, компаний.

3Машинные протоколы можно уподобить правилам языков человеческого общения, которые тоже представляют собой набор стандартов и правил, позволяющих таким «устройствам» как люди правильно обмениваться информацией, закодированной в словах. Так что, орфографию и грамматику русского языка можно тоже считать протоколом. Современные машинные протоколы отличаются внушительным объемом. Например, полное описание протоколаJPRS, применяемого в мобильной телефонной связи, занимает 11 тысяч машинописных станиц.

4Например, термин «троянский конь» может относиться и к поэме Гомера «Илиада», и к компьютерным вирусам, и к другим ситуациям, когда под видом подарка преподносится некая крупная неприятность.

5Для полного понимания логических операторов см. главу 2.7. данного курса лекций: «Логические основы построения ЭВМ».

6Говорить о том, что сервер – «главный компьютер в сети», что он «управляет сетью» - не совсем правильно. В конечном счете, миром информационных технологий управляет человек, в том числе пользователь. Также неверно утверждать, что через сервер проходит все данные, имеющиеся в сети. Все данные проходят не через сервер, а через так называемый концентратор, илиswitch, соединяющий воедино все коммуникации от всех компьютеров. В том числе и от сервера.

7Как известная героиня Эллочка Людоедка, у которой в словаре было только 32 слова.

8См главу 2.3. «Кодировка текстовых данных».

9Подробно компьютерная графика, в том числе цветовые модели будет изучаться во 2-м семестре настоящего курса.

10Примеры кодировокASCIIприведены в файлах КодМежд и КодОтеч.

111 герц – это одна операция в секунду. Соответственно при оцифровке осуществляются десятки тысяч измерений сигнала в секунду.

40